P3 · Pure Mathematics 3

Toán thuần túy 3 (P3) mở rộng P1 và P2: hàm hữu tỷ và hàm nghịch đảo, giá trị tuyệt đối, phép biến đổi kết hợp, hàm lượng giác nghịch đảo và dạng điều hòa, mô hình biểu đồ logarit độ phù hợp, toàn bộ quy tắc đạo hàm, tích phân nhận diện, và phương pháp số. Kiến thức về P1 và P2 được giả định và có thể được kiểm tra trên bài thi WMA13/01 (1 giờ 30 phút, 75 điểm; cùng quy tắc sử dụng máy tính và sách công thức).

Công thức bạn phải biết cho P3 (không có trong sách):

Rút gọn biểu thức phân thức bằng cách nhân tử và triệt tiêu; phép chia đại số dành cho mẫu thức đến bậc hai. Chỉ triệt tiêu thừa số, không bao giờ triệt tiêu số hạng.

Một hàm số là ánh xạ một-một hoặc nhiều-một; miền xác định của nó là tập các giá trị đầu vào được phép và miền giá trị là tập các giá trị đầu ra. Hợp thành $fg$ có nghĩa "thực hiện $g$ trước, sau đó thực hiện $f$". Hàm ngược $f^{-1}$ undo $f$ (nó tồn tại khi $f$ là một-một), và $f^{-1}f(x) = ff^{-1}(x) = x$; đồ thị của $f^{-1}$ phản xạ qua đồ thị của $f$ trên $y = x$.

Ví dụ minh họa — Hàm ngược và Hợp thành (chỉnh sửa từ Edexcel IAL WMA13 Tháng Sáu 2025 Câu1). $f(x) = \dfrac{2x}{3x + 1}$, $x \ge 0$.

(a) Miền giá trị của $f$.

• Tại $x = 0$: $f(0) = 0$; khi $x \to \infty$: $f(x) \to \tfrac23$ từ phía dưới, và $f$ đang tăng ($x$ lớn hơn dẫn đến $f(x)$ lớn hơn).
  $$0 \le f(x) < \tfrac23$$

(b) Tìm $f^{-1}(x)$.

• Đặt $y = \dfrac{2x}{3x+1}$ và giải tìm $x$:
  $$y(3x + 1) = 2x \implies 3xy + y = 2x \implies x(3y - 2) = -y \implies x = \frac{y}{2 - 3y}$$
  $$f^{-1}(x) = \frac{x}{2 - 3x}$$
• Kiểm tra: $f\!\left(\tfrac{x}{2-3x}\right) = \dfrac{2x/(2-3x)}{3x/(2-3x) + 1} = \dfrac{2x}{3x + 2 - 3x} = x$ ✓.

(c) Giải $f^{-1}(x) = f(x)$.

• Kiểm tra: $f(\tfrac13) = \tfrac{2/3}{2} = \tfrac13 = f^{-1}(\tfrac13)$ ✓.

Giá trị tuyệt đối $|x|$ là $x$ với $x \ge 0$ và $-x$ với $x < 0$: $y = |ax + b|$ là đường thẳng $y = ax + b$ với phần âm của nó phản xạ lên phía trên trục tọa độ. Với $y = f(x)$, vẽ sơ đồ $y = |f(x)|$ (phản xạ mọi phần nằm dưới trục) và $y = f(|x|)$ (giữ nguyên nửa bên phải, phản xạ nó về phía bên trái). Giải phương trình giá trị tuyệt đối theo đồ thị hoặc theo từng trường hợp, kiểm tra mỗi nghiệm.

Các phép biến đổi kết hợp áp dụng đồng thời các quy tắc P1, ví dụ $y = 2f(3x)$ hoặc $y = f(-x) + 1$: phép co giãn nhân hệ số, phép tịnh tiến sau đó dịch chuyển; thứ tự được quy định trong chương trình là $y = af(x)$, $y = f(x) + a$, $y = f(x+a)$, $y = f(ax)$ kết hợp trong một biểu thức duy nhất ($y = f(ax+b)$ như vậy không yêu cầu).

Ví dụ có hướng dẫn — phương trình giá trị tuyệt đối (ví dụ của chính tài liệu quy định). Giải $|2x - 1| = x + 5$.

• Trường hợp $2x - 1 \ge 0$ ($x \ge \tfrac12$): $2x - 1 = x + 5 \implies x = 6$ ✓ (thỏa mãn $x \ge \tfrac12$).
• Trường hợp $2x - 1 < 0$: $-(2x - 1) = x + 5 \implies -3x = 4 \implies x = -\tfrac43$ ✓ ($< \tfrac12$).
• Cả hai nghiệm đều là $x = 6$ và $x = -\tfrac43$. Kiểm tra: $|2(6) - 1| = 11 = 6 + 5$ ✓; $|-\tfrac83 - 1| = \tfrac{11}3 = -\tfrac43 + 5$ ✓.

Các hàm nghịch đảo:

Cotangent được xác định khi $\sin\theta\ne0$ và bằng $1/\tan\theta$ khi cả hai biểu thức đều xác định. Sử dụng các đồng thức $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ và $\operatorname{cosec}^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$. Đồ thị của chúng có tiệm cận tại các điểm mà hàm mẫu thức bằng không. Các hàm nghịch đảo $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ cần miền xác định bị giới hạn: $\arcsin: [-1, 1] \to [-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2]$, $\arccos: [-1,1] \to [0, \pi]$, $\arctan: \mathbb{R} \to (-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2)$.

Dạng điều hòa: $a\cos\theta + b\sin\theta = R\cos(\theta - \alpha)$ với $R=\sqrt{a^2+b^2}$ với $R\cos\alpha=a$ và $R\sin\alpha=b$ — dùng cả hai dấu để xác định góc phần tư. Nếu $R=0$, biểu thức bằng không. Dạng này sẵn sàng tối đa hóa. hoặc giải.

Ví dụ minh họa — dạng điều hòa (chỉnh sửa từ Edexcel IAL WMA13 Tháng Sáu 2025 Câu2). Biến đổi $f(x) = 7\cos x - 24\sin x$ về dạng $R\cos(x + \alpha)$, $R > 0$, $0 < \alpha < 2\pi$.

• $R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$.
• Khai triển $R\cos(x + \alpha) = R\cos x\cos\alpha - R\sin x\sin\alpha$ và đối chiếu: $25\cos\alpha = 7$ và $25\sin\alpha = 24$, nên $\tan\alpha = \tfrac{24}{7}$ và
  $$\alpha = 1.287 \ (3\ \text{d.p.}) \qquad f(x) = 25\cos(x + 1.287)$$
• Kiểm tra: $25\cos(0 + 1.287) = 25(0.28) = 7.0$ ✓ và $-25\sin(1.287) = -24.0$ ✓.

Ví dụ minh họa — chứng minh đẳng thức (chỉnh sửa từ Edexcel IAL WMA13 Tháng Sáu 2025 Câu8a). Chứng minh $\tan 3x \equiv \dfrac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

• Viết $3x = 2x + x$ và sử dụng công thức góc tổng hợp:
  $$\tan 3x = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x\tan x}, \qquad \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2t}{1 - t^2} \ (t = \tan x)$$
• Thay thế:
  $$\tan 3x = \frac{\frac{2t}{1-t^2} + t}{1 - \frac{2t^2}{1-t^2}} = \frac{2t + t(1 - t^2)}{(1 - t^2) - 2t^2} = \frac{3t - t^3}{1 - 3t^2} \qquad \blacksquare$$
• Check at $x = \tfrac\pi6$ ($t = \tfrac1{\sqrt3}$): numerator $\tfrac{3}{\sqrt3} - \tfrac{1}{3\sqrt3} = \tfrac{8}{3\sqrt3}$; denominator $1 - 1 = 0$ — and $\tan\tfrac\pi2$ không xác định ✓ phù hợp.

$y = e^x$ đi qua $(0, 1)$ và tăng không giới hạn; $\ln x$ là hàm nghịch đảo của nó với miền xác định $x > 0$ và trục $y$ làm đường tiệm cận. Giải $e^{ax+b} = p$ bằng cách lấy $\ln$, và $\ln(ax + b) = q$ bằng cách lũy thừa.

Mô hình đồ thị logarit: với $y = ax^n$, việc lấy logarit cho $\log y = n\log x + \log a$ — vẽ $\log y$ theo $\log x$ để có đường thẳng có hệ số góc là $n$ và tung độ gốc là $\log a$. Đối với $y = kb^x$, vẽ $\log y$ theo $x$: hệ số góc $\log b$, tung độ gốc $\log k$. Logarit thực yêu cầu đối số dương và cơ số hợp lệ; dạng quy luật lũy thừa hiển thị sử dụng $a>0,x>0$, và dạng mũ sử dụng $k>0,b>0$.

Ví dụ minh họa — khôi phục quy luật lũy thừa (biên tập từ Edexcel IAL WMA13 tháng 6 2025 câu hỏi3). Một Đường thẳng $\log_{10}y$–$\log_{10}x$ đi qua $(-3.5, 0)$ và $(0, -2)$. Viết $y$ dưới dạng $px^q$.

• Hệ số góc: $\dfrac{0 - (-2)}{-3.5 - 0} = -\dfrac47$; tung độ gốc: $-2$:
  $$\log_{10} y = -\tfrac47\log_{10}x - 2$$
• Chuyển đổi: $y = 10^{-\frac47\log_{10}x - 2} = 10^{-2}\,x^{-4/7}$, do đó
  $$y = \frac{1}{100}\,x^{-4/7} \qquad (p = \tfrac{1}{100},\ q = -\tfrac47)$$
• Kiểm tra bằng một điểm trên đường thẳng: $\log_{10}x = 0 \Rightarrow x = 1$, $\log_{10}y = -2 \Rightarrow y = \tfrac{1}{100}$ ✓ and the formula gives $y = \tfrac{1}{100}\cdot 1 = \tfrac{1}{100}$ ✓.

Ví dụ minh họa — mô hình suy giảm cấp số nhân (biên tập từ Edexcel IAL WMA13 tháng 6 2025 câu hỏi6). Một bộ xử lý mát đi khi $\theta = 21 + Ae^{-kt}$ ($\theta$ tính bằng °C, $t$ tính bằng phút), bắt đầu từ 75 °C, đạt đến 25 °C sau 5 phút; tìm $A$, $k$ và thời điểm nhiệt độ giảm ở 9 °C mỗi phút.

• Tại $t = 0$: $75 = 21 + A$, nên $A = 54$.
• Tại $t = 5$: $25 = 21 + 54e^{-5k} \implies e^{-5k} = \tfrac{4}{54} = \tfrac{2}{27}$:
  $$-5k = \ln\tfrac{2}{27} \implies k = \tfrac15\ln\tfrac{27}{2} = 0.521 \ (3\ \text{s.f.})$$
• Tốc độ: $\dfrac{d\theta}{dt} = -54ke^{-kt}$; đặt bằng $-9$:
  $$e^{-kt} = \frac{9}{54 \times 0.521} = \frac{9}{28.13} \implies T = \frac{\ln(28.13/9)}{0.521} = 2.19 \ (2\ \text{d.p.})$$
• Giá trị ban đầu là 75 °C và giới hạn dài hạn là 21 °C.
• Kiểm tra: tại $T = 2.19$, $\theta = 21 + 54e^{-0.521(2.19)} = 21 + 54(0.320) = 38.3$ °C, đang giảm. tại $28.13 \times 0.320 = 9.0$ °C/phút ✓. Nền của mô hình là 21 °C (nhiệt độ phòng) — hợp lý cho các giá trị lớn của $t$.

Tạo đạo hàm của $\sin kx$, $\cos kx$, $\tan kx$ ($\to k\sec^2 kx$), $e^{kx}$, $\ln kx$ ($\to \tfrac1x$), cùng với tổng và hiệu.

Ba quy tắc mở rộng phạm vi áp dụng: quy tắc tích, quy tắc thương và quy tắc chuỗi.

$\sec x \to \sec x\tan x$, $\operatorname{cosec} x \to -\operatorname{cosec} x\cot x$, $\cot x \to -\operatorname{cosec}^2 x$ suy ra từ quy tắc thương. Vi phân ẩn sử dụng $\dfrac{dy}{dx} = 1 \div \dfrac{dx}{dy}$ when $x$ is locally invertible as a differentiable function of $y$ and $dx/dy\ne0$.

Ví dụ minh họa — tích và chuỗi kết hợp (từ chính các ví dụ trong chương trình học). Tạo đạo hàm của $e^{-x^2}\sin 3x$ (biên tập lại từ Edexcel IAL WMA13 Tháng Sáu 2025 Câu 7).

• Quy tắc tích với $u = e^{-x^2}$ (chuỗi: $u' = -2xe^{-x^2}$) và $v = \sin 3x$ ($v' = 3\cos 3x$):
  $$\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2}\sin 3x + 3e^{-x^2}\cos 3x = e^{-x^2}\big(3\cos 3x - 2x\sin 3x\big)$$
• Kiểm tra tại $x = 0$: đạo hàm là $= 1 \times (3 - 0) = 3$, và gần $0$ đồ thị có dạng $\sin 3x$ với hệ số góc là 3 ✓.

Tích phân trực tiếp các dạng chuẩn, và sử dụng các dạng nhận diện (nhận thấy $f'$ bên trong biểu thức tích phân):

Các đẳng thức lượng giác biến đổi $\sin^2 x$, $\cos^2 x$, $\tan^2 x$ thành các dạng có thể tích phân được ($\cos 2A \equiv 1 - 2\sin^2 A$, $\cos 2A \equiv 2\cos^2 A - 1$; $\tan^2 \equiv \sec^2 - 1$).

Ví dụ đã giải —identity trước (biên tập từ Edexcel IAL WMA13 Tháng Sáu 2025 Câu 5). Tìm $\displaystyle\int\sin^2 3x\,dx$.

• Góc đôi với $A = 3x$: $\cos 6x \equiv 1 - 2\sin^2 3x$, do đó $\sin^2 3x = \tfrac12(1 - \cos 6x)$:
  $$\int \sin^2 3x\,dx = \tfrac12\int(1 - \cos 6x)\,dx = \tfrac12\left(x - \tfrac16\sin 6x\right) + c = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + c$$
• Kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm: $\tfrac12 - \tfrac{6\cos 6x}{12} = \tfrac12(1 - \cos 6x) = \sin^2 3x$ ✓.

Ví dụ có lời giải — nhận dạng. Tìm $\displaystyle\int \frac{6x}{3x^2 + 4}\,dx$.

• Tử số là đạo hàm của mẫu số ($f' = 6x$, $f = 3x^2 + 4$):
  $$\int\frac{6x}{3x^2+4}\,dx = \ln\lvert 3x^2 + 4\rvert + c$$
• Kiểm tra: $\dfrac{d}{dx}\ln(3x^2+4) = \dfrac{6x}{3x^2+4}$ ✓. Dạng lũy thừa cũng hoạt động tương tự: với $u = 3x^2 + 4$ và $du = 6x\,dx$,
  $$\int x\,(3x^2+4)^4\,dx = \tfrac16\int u^4\,du = \frac{(3x^2+4)^5}{30} + c$$
  và vi phân $\dfrac{(3x^2+4)^5}{30}$ cho ta $\dfrac{5(3x^2+4)^4 \cdot 6x}{30} = x(3x^2+4)^4$ ✓.

• Thay đổi dấu: nếu $f$ liên tục trên $[a, b]$ và $f(a)f(b) < 0$, một nghiệm nằm giữa $a$ và $b$. Chia đôi khoảng để xác định nghiệm với độ chính xác tùy ý.
• Lặp: sự sắp xếp lại $x_{n+1} = f(x_n)$ từ giá trị khởi đầu hội tụ về điểm cố định (hoặc không — luôn kiểm tra với giới hạn thay đổi dấu).

Ví dụ có lời giải — xác định vị trí và lặp (biên tập từ Edexcel IAL WMA13 Tháng 6 2025 Câu 7). Điểm dừng của $y = e^{-x^2}\sin 3x$ gần $x = 0.4$ thỏa $x = \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$.

(a) Với $x_1 = 0.4$:

• Kiểm tra sự hội tụ của lặp: $|x_3 - x_2|$ nhỏ và các giá trị tiến tới 0.43 ✓. (b) Chứng minh nghiệm là 0.430 đến 3 chữ số thập phân: đặt $g(x) = x - \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$ (hoặc biểu thức đạo hàm từ ví dụ có lời giải ở trên):
  $$g(0.4295) = -1.1 \times 10^{-3} < 0 \qquad g(0.4305) = +6.4 \times 10^{-5} > 0$$
• $g$ liên tục, và sự thay đổi dấu giữa 0.4295 và 0.4305 bao quanh một nghiệm, nên nghiệm là 0.430 đến 3 chữ số thập phân ✓.

• Rút gọn biểu thức hữu tỷ; nhân tử trước khi triệt tiêu; chia cho nhân tử bậc nhất hoặc bậc hai ước số.
• Làm việc với tập xác định, tập giá trị, hợp và hàm ngược; kiểm chứng hàm ngược bằng cách lập thành $x$.
• Vẽ sơ đồ và giải phương trình giá trị tuyệt đối theo từng trường hợp có kiểm tra; kết hợp hai phép biến đổi trên một đồ thị.
• Sử dụng sec, cosec, cot và các đồng thức của chúng; biết các miền giá trị bị giới hạn của hàm ngược.
• Chuyển đổi $a\cos\theta + b\sin\theta$ sang $R\cos(\theta \pm \alpha)$; đọc điểm cực đại và giải.
• Chứng minh các đồng thức góc tổng và góc đôi; sử dụng chúng theo cả hai chiều.
• Giải $e^{ax+b} = p$ và $\ln(ax+b) = q$; tìm lại $y = ax^n$ và $y = kb^x$ từ biểu đồ logarit.
• Đạo hàm theo quy tắc tích, thương và chuỗi, bao gồm $\sec/\operatorname{cosec}/\cot$; sử dụng $\frac{dy}{dx} = 1 \div \frac{dx}{dy}$.
• Mô hình hóa sự tăng trưởng và suy giảm; diễn giải giá trị ban đầu và ngưỡng dài hạn; đánh giá mô hình.
• Tích phân các dạng tiêu chuẩn; nhận diện $\int f'/f$ và $\int f'(f)^n$; áp dụng đồng thức cho hàm lượng giác bình phương trên.
• Xác định nghiệm bằng dấu thay đổi kèm phát biểu về tính liên tục; thực hiện và kiểm tra phương pháp lặp.