P2 · Pure Mathematics 2

Toán Thuần túy 2 (P2) là đơn vị bắt buộc thứ hai của Toán Quốc tế AS và Toán Thuần túy Quốc tế AS, cũng như cả hai lộ trình A Level Quốc tế. Tài liệu tham khảo này bao phủ toàn bộ chủ đề P2 trong chương trình Edexcel IAL (Phiên bản 3, tháng Tư 2019): chứng minh, định lý thừa số và dư, hình học đường tròn, dãy số và chuỗi, hàm mũ và logarit, hằng đẳng thức và phương trình lượng giác, điểm dừng, và tích phân bao gồm diện tích và công thức thang hình chữ nhật.

• Đề thi P2 (WMA12/01) kéo dài 1 giờ 30 phút với tổng 75 điểm. Học sinh được giả định có kiến thức về P1 và các công thức của nó sẽ được kiểm tra trên đề thi P2.
• Máy tính và quy tắc Công thức Toán học và Bảng Thống kê màu vàng áp dụng như đối với P1. Các công thức dưới đây không có trong cuốn sách — hãy ghi nhớ chúng.
• Câu hỏi "Trình bày tất cả các bước giải" không chấp nhận đáp án chỉ dùng máy tính; đưa ra đáp số xấp xỉ đến 3 chữ số có nghĩa trừ khi được yêu cầu khác.

Các công thức bạn cần thuộc cho P2 (từ thông tin đánh giá của chương trình):

Một chứng minh bắt đầu từ giả thiết đã cho qua các bước lập luận để dẫn đến kết luận. P2 sử dụng ba phương pháp:

• Chứng minh bằng liệt kê: chia các khả năng thành từng trường hợp và kiểm tra từng trường hợp.
• Phản chứng bằng ví dụ phản lệ: một ví dụ duy nhất phá vỡ tuyên bố sẽ bác bỏ nó.
• Chứng minh đại số: bắt đầu từ những gì đã cho, biến đổi các đẳng thức (không phải phương trình cần giải), và kết thúc bằng mệnh đề đích.

Ví dụ minh họa — liệt kê (điều chỉnh từ Edexcel IAL WMA12 Tháng Sáu 2025 Câu10). Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$ không là bội của 3, giá trị của $m^2 + 3m + 2$ luôn là một bội của 3.

• Phân tích nhân tử trước: $m^2 + 3m + 2 = (m+1)(m+2)$.
• Một số nguyên dương không chia hết cho 3 thì hoặc là $m = 3q + 1$ hoặc là $m = 3q + 2$ — đó là tất cả Các trường hợp, do đó kiểm tra hết chúng sẽ chứng minh được phát biểu.
• Trường hợp $m = 3q + 1$: $(m+1)(m+2) = (3q+2)(3q+3) = 3(3q+2)(q+1)$ — một bội của 3.
• Trường hợp $m = 3q + 2$: $(m+1)(m+2) = (3q+3)(3q+4) = 3(q+1)(3q+4)$ — một bội của 3.
• Cả hai trường hợp đều cho ra một bội của 3, nên $3 \mid m^2+3m+2$ khi và chỉ khi $3 \nmid m$. $\blacksquare$
• Kiểm tra: $m = 1$: $6 = 3 \times 2$ ✓; $m = 2$: $12 = 3 \times 4$ ✓; $m = 4$: $30$ ✓; $m = 5$: $42$ ✓.

Ví dụ minh họa — phản ví dụ. Phủ định: "$n^2 - n + 1$ là số nguyên tố với mọi số nguyên $n \ge 2$."

• Chỉ cần một phản ví dụ. Thử $n = 5$: $25 - 5 + 1 = 21 = 3 \times 7$, không phải số nguyên tố.
• Khẳng định này sai. Kiểm tra $n = 2,3,4$ cho ra các số nguyên tố $3, 7, 13$ — quy luật ban đầu đúng, nhưng đó chính là lý do tại sao một phản ví dụ, chứ không phải thêm nhiều ví dụ, mới giải quyết được vấn đề.

Đối với đa thức $f(x)$:

• Định lý nhân tử: $(x - b)$ là nhân tử của $f(x)$ khi và chỉ khi $f(b) = 0$. Đối với các ước có dạng $(ax - b)$: nếu $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right) = 0$ thì $(ax - b)$ là một nhân tử.
• Định lý dư: chia $f(x)$ cho $(ax - b)$ thì phần dư là $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right)$.
• Chia đại số cho $(ax \pm b)$ cho ta thương và phần dư; bậc giảm đi một: $f(x) = (ax - b) \times (\text{quotient}) + \text{remainder}$.

Ví dụ có lời giải — cả hai định lý cùng lúc (chuyển từ Edexcel IAL WMA12 Tháng Sáu 2025 Câu4). $f(x) = ax^3 + bx^2 + 5x - 3$, trong đó $(x+3)$ là nhân tử của $f(x)$ và chia $f(x)$ cho $(2x - 1)$ để lại phần dư 7.

(a) Chứng minh rằng $b = 3a + 2$.

• Định lý nhân tử: $f(-3) = 0$:
  $$a(-27) + b(9) + 5(-3) - 3 = 0 \implies -27a + 9b - 18 = 0 \implies b = 3a + 2$$

(b) Tìm $a$ và $b$.

• Định lý dư với $(2x-1)$: $f\!\left(\tfrac12\right) = 7$:
  $$\frac{a}{8} + \frac{b}{4} + \frac{5}{2} - 3 = 7 \implies \frac{a}{8} + \frac{b}{4} = 7.5 \implies a + 2b = 60$$
• Thay $b = 3a + 2$ vào: $a + 6a + 4 = 60$, suy ra $a = 8$ và $b = 26$.
• Kiểm tra: $f(x) = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$; $f(-3) = -216 + 234 - 15 - 3 = 0$ ✓ và $f(\tfrac12) = 1 + 6.5 + 2.5 - 3 = 7$ ✓.

(c) Thương và dư khi chia $f(x)$ cho $(x - 2)$.

• Chia $8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ cho $(x-2)$: thương là $8x^2 + 42x + 89$, dư là $175$.
• Kiểm tra bằng cách tái cấu trúc: $(x-2)(8x^2+42x+89) + 175 = 8x^3 + 42x^2 + 89x - 16x^2 - 84x - 178 + 175 = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ ✓. The remainder also equals $f(2) = 64 + 104 + 10 - 3 = 175$ ✓.

Đường tròn tâm $(a, b)$ bán kính $r$ có phương trình

Cho dạng khai triển $x^2 + y^2 + fx + gy + c = 0$, hoàn thành bình phương để thu được tâm $\left(-\tfrac f2, -\tfrac g2\right)$ và $r^2 = \tfrac{f^2 + g^2}{4} - c$. Ba tính chất của đường tròn được xem xét:

• góc nội tiếp trong nửa đường tròn là góc vuông;
• đường vuông góc từ tâm xuống đây thì chia đôi dây cung đó;
• tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

Ví dụ minh họa — hai đầu đường kính (biên tập từ Edexcel IAL WMA12 Tháng Sáu 2025 Câu 2). Đường thẳng đoạn thẳng nối $(-2, 5)$ và $(4, 15)$ là đường kính của đường tròn $C$.

(a) Phương trình của $C$.

• Tâm là trung điểm: $\left(\tfrac{-2+4}{2}, \tfrac{5+15}{2}\right) = (1, 10)$.
• Bình phương bán kính: $d^2 = (4-(-2))^2 + (15-5)^2 = 36 + 100 = 136$, do đó $r^2 = 136 \div 4 = 34$.
  $$(x - 1)^2 + (y - 10)^2 = 34$$
• Kiểm tra: cả hai đầu mút đều thỏa mãn phương trình: $(-3)^2 + (-5)^2 = 34$ ✓ và $3^2 + 5^2 = 34$ ✓.

(b) Tọa độ chính xác của điểm trên $C$ gần trục $x$ nhất.

• Điểm gần nhất nằm trên bán kính đứng: cùng $x$ với tâm, cách $r$ đơn vị về phía dưới:
  $$(1,\ 10 - \sqrt{34})$$
• Kiểm tra: $(1-1)^2 + (10-\sqrt{34}-10)^2 = 34$ ✓, và không có $y$ nào nhỏ hơn có thể xảy ra vì tâm nằm $10 > \sqrt{34}$ đơn vị phía trên trục tọa độ.

Một dãy số có thể được cho bởi công thức tính số hạng thứ $n$ hoặc bằng một hệ thức $x_{n+1} = f(x_n)$. Mô tả nó là tăng, giảm hoặc chu kỳ (từ các số hạng của nó, không phải từ công thức).

Dãy số cộng: hiệu hằng số $d$.

Chứng minh công thức tổng (viết $S_n$ theo chiều thuận và ngược, rồi cộng) cần được thuộc lòng, cũng như ký hiệu $\Sigma$.

Dãy số nhân: tỉ số hằng số $r$.

Chứng minh công thức tổng (phép trừ telescoping $S_n - rS_n$) cần được thuộc lòng. Sử dụng logarit để giải cho $n$ khi một giá trị hạng tử được cho trước.

Lũy thừa nhị thức cho số nguyên dương $n$:

Ví dụ minh họa — cấp số nhân với logarit (biên tập từ Edexcel IAL WMA12 tháng 6 2025 Q7). Một cấp số nhân bắt đầu $10 + 8 + 6.4 + \cdots$

(a) Tổng vô hạn.

• $a = 10$, $r = 8/10 = 0.8$ và $|r| < 1$:
  $$S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{10}{1 - 0.8} = 50$$

(b) Số hạng thứ $k$ nhỏ hơn 0.0005 — tìm số nguyên nhỏ nhất $k$ bằng đại số.

• Số hạng thứ $k$ là $10(0.8)^{k-1}$:
  $$10(0.8)^{k-1} < 0.0005 \implies (0.8)^{k-1} < 0.00005$$
• Lấy logarit (logarit của một số dưới 1 sẽ âm — giữ chiều bất đẳng thức khi chia cho nó):
  $$(k-1)\log 0.8 < \log 0.00005 \implies k - 1 > \frac{\log 0.00005}{\log 0.8} = 44.38\ldots$$
• Vậy $k > 45.38$ và số nguyên nhỏ nhất là $k = 46$.
• Kiểm tra: $10(0.8)^{45} = 0.000436\ldots < 0.0005$ ✓ nhưng $10(0.8)^{44} = 0.000544\ldots > 0.0005$ ✓.

Ví dụ minh họa — tổng cấp số cộng cực đại (biên tập từ cùng câu hỏi). Một cấp số cộng bắt đầu $850 + 843 + 836 + \cdots$ ($d = -7$). Tổng riêng phần lớn nhất của nó:

• Các số hạng vẫn dương đến $u_n = 850 - 7(n-1) > 0$, nên $n \le 122.4$; số hạng thứ 122 là $850 - 7(121) = 3 > 0$ và số hạng thứ 123 là $-4 < 0$.
  $$S_{122} = \frac{122}{2}\big(2(850) + 121(-7)\big) = 61(1700 - 847) = 61 \times 853 = 52\,033$$
• Kiểm tra: thêm một số hạng âm thứ 123 sẽ làm giảm tổng, do đó $S_{122}$ là giá trị lớn nhất ✓.

$y = a^x$ ($a > 0$, $a \ne 1$) đi qua $(0, 1)$ và tăng không giới hạn đối với $a > 1$. Hàm logarit $\log_a x$ đảo ngược nó: $\log_a x = y$ có nghĩa $a^y = x$. Hãy nhớ:

và $\log_a \tfrac1x = -\log_a x$. Giải $a^x = b$ bằng cách sử dụng $x = \log_a b$ (có thể cần đổi cơ số) đã sử dụng). Luôn kiểm tra điều kiện xác định của miền giá trị: đối số của logarit phải dương.

Ví dụ giải mẫu — phương trình logarit (biên tập từ Edexcel IAL WMA12 Tháng Sáu 2025 Câu 6). Giải $2\log_2(4 - x) = 3 + \log_2\!\left(\dfrac{x + 11}{2}\right)$.

• Đưa tất cả về một logarit ở mỗi vế:
  $$\log_2(4-x)^2 = \log_2 8 + \log_2\!\left(\frac{x+11}{2}\right) = \log_2\big(4(x+11)\big)$$
• Hai logarit bằng nhau thì đối số bằng nhau:
  $$(4-x)^2 = 4(x+11) \implies x^2 - 8x + 16 = 4x + 44 \implies x^2 - 12x - 28 = 0$$
  $$(x - 14)(x + 2) = 0 \implies x = 14 \ \text{or}\ x = -2$$
• Kiểm tra miền giá trị: $4 - x > 0$ yêu cầu $x < 4$, nên $x = 14$ bị loại. $x = -2$.
• Kiểm tra: VTS $= 2\log_2 6$; VPC $= 3 + \log_2(4.5) = \log_2(8 \times 4.5) = \log_2 36 = 2\log_2 6$ ✓.

Ví dụ giải mẫu — giao điểm chính xác dưới dạng $\log_3$ (câu hỏi tương tự). Các đường cong $y = 3^{2x+1}$ và $y = 6 \times 3^x$ cắt nhau tại $P$; viết $P$ thành $(\log_3 a, b)$.

• Đặt hai vế bằng nhau và thay thế $u = 3^x$:
  $$3\cdot 3^{2x} = 6 \cdot 3^x \implies 3u^2 = 6u \implies u = 2 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2$$
  $$y = 6 \times 3^x = 6 \times 2 = 12$$
• $P = (\log_3 2,\ 12)$, nên $a = 2$, $b = 12$. Kiểm tra: $3^{2\log_3 2 + 1} = 3 \cdot 3^{2\log_3 2} = 3 \cdot 4 = 12$ ✓.

Hai đồng thức chuyển đổi giữa sin, cos và tan:

Giải phương trình lượng giác trong khoảng cho trước bằng cách đưa về một hàm (thường là ẩn số bậc hai ẩn), sau đó đọc nghiệm thứ hai từ tính đối xứng của đồ thị. Nêu rõ khoảng, làm việc theo đơn vị của nó (độ hoặc radian) và loại bỏ các giá trị nằm ngoài.

Ví dụ giải mẫu — radian và phân số chính xác (biên tập từ Edexcel IAL WMA12 Tháng Sáu 2025 Câu 8). Giải $3\tan\!\left(2x + \dfrac{\pi}{5}\right) = \sqrt3$ trong khoảng $0 \le x < \pi$.

• Chia cho 3: $\tan\left(2x + \tfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{1}{\sqrt3}$, và $\tan\frac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$:
  $$2x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{6} + k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{30} + k\pi \implies x = -\frac{\pi}{60} + \frac{k\pi}{2}$$
• Trong $0 \le x < \pi$: $x = \dfrac{29\pi}{60}$ (k = 1) và $x = \dfrac{59\pi}{60}$ (k = 2).
• Kiểm tra: tại $x = \frac{29\pi}{60}$: $2x + \frac\pi5 = \frac{7\pi}{6}$ và $\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt3}$ ✓.

Ví dụ minh họa — phương trình bậc hai ẩn trong cosin (câu hỏi tương tự). Giải $5\sin\theta\tan\theta = \cos\theta + 4$ cho $0 \le \theta < 360°$.

• Thay $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$ và nhân cả hai vế với $\cos\theta$:
  $$\frac{5\sin^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta + 4 \implies 5\sin^2\theta = \cos^2\theta + 4\cos\theta$$
• Sử dụng $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$:
  $$5(1 - \cos^2\theta) = \cos^2\theta + 4\cos\theta \implies 6\cos^2\theta + 4\cos\theta - 5 = 0$$
• Công thức nghiệm bậc hai theo $\cos\theta$:
  $$\cos\theta = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 120}}{12} = \frac{-2 \pm \sqrt{34}}{6}$$
• Nghiệm $-$ nhỏ hơn $-1$ (loại bỏ); $\cos\theta = 0.6385$ cho ra $\theta = 50.3°$ và, từ tính đối xứng của cosin, thu được $\theta = 360° - 50.3° = 309.7°$.
• Kiểm tra: $\cos 50.3° = 0.638$ ✓; cả hai góc đều nằm trong khoảng xác định ✓.

Điểm dừng có $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Phân loại dựa vào dấu của đạo hàm:

• Đạo hàm đổi dấu từ $+$ sang $-$: cực đại;
• Đạo hàm đổi dấu từ $-$ sang $+$: cực tiểu;
• Đạo hàm cấp hai hỗ trợ phân loại: $f''(x) > 0$ tại điểm đó xác nhận cực tiểu, $f''(x) < 0$ là cực đại.

Hàm số đồng biến khi $f'(x) > 0$ và nghịch biến khi $f'(x) < 0$. Các bài toán thực tế như tiết kiệm vật liệu, giảm chi phí nhất có thể chuyển thành việc tối thiểu hóa một biểu thức theo một biến số. các bài toán — vật liệu tối thiểu, chi phí thấp nhất — chuyển thành việc tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức theo một biến.

Ví dụ minh họa — tìm giá trị nhỏ nhất trong mô hình hóa (chỉnh sửa từ Edexcel IAL WMA12 Tháng Sáu 2025 Câu 9). Một máng mở có đầu tam giác vuông với các cạnh góc vuông $3x$ và $2x$ (mét), mặt bên hình chữ nhật $3x \times L$ và $2x \times L$, và thể tích $12\ \text{m}^3$. Diện tích mặt kim loại là $S\ \text{m}^2$.

(a) Chứng minh $S = 6x^2 + \dfrac{20}{x}$.

• Thể tích: tiết diện $\times$ × chiều dài $= \tfrac12(3x)(2x) \times L = 3x^2L = 12$, nên $L = \dfrac{4}{x^2}$.
• Bề mặt: hai tam giác cộng với hai hình chữ nhật:
  $$S = 2 \times \tfrac12(3x)(2x) + 3xL + 2xL = 6x^2 + 5x \cdot \frac{4}{x^2} = 6x^2 + \frac{20}{x}$$

(b) Tìm giá trị tối thiểu $S$ bằng vi phân.

(c) Giải thích lý do đạt giá trị tối thiểu.

• Đạo hàm bậc hai dương trên toàn miền xác định: điểm dừng là điểm cực tiểu ✓.
• Kiểm tra: tại $x = 1.1856$, $\frac{d^2S}{dx^2} = 12 + 40/(5/3) = 12 + 24 = 36 > 0$ ✓.

Tính tích phân xác định theo định lý cơ bản của giải tích:

Tích phân xác định chính là diện tích dưới đường cong cho $y \ge 0$. Đối với một vùng được giới hạn bởi một đường cong và một đường thẳng, hãy tính tích phân (trên − dưới) giữa các giao điểm, chia nhỏ nơi thứ tự thay đổi. Kiểm tra xem đồ thị nào ở trên đồ thị nào.

Ví dụ có lời giải — diện tích giữa đường cong và đường thẳng (chỉnh sửa từ Edexcel IAL WMA12 Tháng 6 2025 Câu 3). $C$: $y = 3x + \dfrac{16}{x^2} - 8$ ($x > 0$) với $P(1, 11)$ và $Q(4, 5)$ nằm trên $C$; tìm diện tích giữa $C$ và đoạn thẳng $PQ$.

• Đường thẳng $PQ$: hệ số góc $\dfrac{5-11}{4-1} = -2$, nên $y - 11 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 13$.
• Kiểm tra $Q$: $-8 + 13 = 5$ ✓.
• Diện tích dưới đường thẳng: $\displaystyle\int_1^4 (-2x + 13)\,dx = \left[-x^2 + 13x\right]_1^4 = 36 - 12 = 24$.
• Diện tích dưới đường cong: $\displaystyle\int_1^4 \left(3x + 16x^{-2} - 8\right)dx = \left[\tfrac32x^2 - \tfrac{16}{x} - 8x\right]_1^4 = (24 - 4 - 32) - (\tfrac32 - 16 - 8) = 10.5$.
• Diện tích vùng: $24 - 10.5 = \mathbf{13.5}$ đơn vị diện tích.
• Kiểm tra: đường thẳng nằm trên đường cong throughout (tại $x = 2$: đường thẳng $9$, đường cong $3(2) + 4 - 8 = 2$), vì vậy lấy đường thẳng trừ đi đường cong là đúng thứ tự ✓.

Quy tắc hình thang xấp xỉ diện tích bằng $n$ dải có chiều rộng $h$:

Nhiều dải hơn (hoặc đường cong thẳng hơn) cải thiện ước lượng; một đường cong bẻ lên (lồi, hình chữ U như $x^2$) để lại mọi dây cung nằm trên nó, nên quy tắc ước lượng quá cao, trong khi một đường cong bẻ xuống (lõm, như $\sqrt x$ hoặc cung tròn) để lại các dây cung nằm dưới nó, nên quy tắc ước lượng thấp hơn.

Ví dụ mẫu — quy tắc hình thang với bảng. Ước tính $\displaystyle\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ với 4 dải.

• Bốn dải trên $[1, 3]$ cho $h = 0.5$ và năm giá trị của $y = \dfrac1x$: tại $x = 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3$ các giá trị là $1,\ 0.6667,\ 0.5,\ 0.4,\ 0.3333$.
  $$\int_1^3 \frac1x\,dx \approx \frac{0.5}{2}\big[1 + 0.3333 + 2(0.6667 + 0.5 + 0.4)\big] = 0.25 \times 4.4667 = 1.12$$
• Giá trị thực là $\ln 3 = 1.099$ (3 chữ số có nghĩa). Kết quả ước lượng là quá cao: $y = 1/x$ là lồi (bẻ lên), nên mỗi dải thẳng nằm trên đường cong ✓.

• Xây dựng chứng minh; sử dụng phương pháp triệt tiêu qua tất cả các trường hợp; bác bỏ bằng một phản ví dụ.
• Áp dụng định lý thừa số và dư, bao gồm cả các thừa số $(ax - b)$, và thực hiện phép chia đại số với thương và dư. thương và dư.
• Tìm tâm và bán kính của đường tròn từ một trong hai dạng; áp dụng ba tính chất của đường tròn.
• Sử dụng $a_n$, $S_n$ và $S_\infty$ cho cấp số cộng và cấp số nhân (cả chứng minh công thức tổng), ký hiệu $\Sigma$, và logarit để tìm $n$.
• Khai triển $(a + bx)^n$ với các hệ số nhị thức, và khớp với các hệ số đã cho.
• Giải phương trình logarit bằng ba quy tắc, kiểm tra miền xác định; đưa ra giao điểm chính xác dưới dạng $(\log_a b, c)$ khi được yêu cầu.
• Rút gọn phương trình lượng giác bằng $\tan = \sin/\cos$ và $\sin^2 + \cos^2 = 1$; giải trong khoảng độ hoặc radian như đã cho, liệt kê tất cả các nghiệm trong khoảng đó.
• Tìm và phân loại điểm dừng; giải thích bằng sự đổi dấu hoặc đạo hàm bậc hai; thiết lập mô hình tối thiểu hóa một biến số.
• Tính tích phân xác định; tìm diện tích dưới đồ thị và giữa đồ thị với đường thẳng; áp dụng quy tắc hình thang từ bảng dữ liệu và nêu hướng sai số của nó.