Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Khung ACT, phiên bản sửa đổi tháng Hai 2026. Các ví dụ lớp học ở đây không phải là biểu mẫu chính thức của ACT.
- Diễn giải ước lượng dân số và bằng chứng mô phỏng mà không claiming chứng minh
- Tính toán các đại lượng điều kiện, tổ hợp và giá trị kỳ vọng
- Chọn hoán vị hoặc tổ hợp tùy theo việc thứ tự có quan trọng hay không
Kiến thức nền: Tỷ lệ phần trăm; quần thể; chọn ngẫu nhiên so với phân bổ ngẫu nhiên.
Giải thích và chọn phương pháp
Mẫu ngẫu nhiên hỗ trợ suy luận về quần thể nguồn gốc của nó; sai số biên cung cấp khoảng tin cậy cho ước lượng. Phân bổ ngẫu nhiên thay thế hỗ trợ so sánh điều trị nguyên nhân. Trong mô phỏng, một kết quả hiếm khi xảy ra dưới giả thuyết có thể là bằng chứng chống lại giả thuyết đó; việc không tìm thấy kết quả bất thường không chứng minh giả thuyết đúng.
Xác suất có điều kiện giới hạn mẫu số ở nhóm điều kiện. Với A hoặc B, trừ phần giao nhau sau khi cộng xác suất riêng lẻ. Độc lập cho phép nhân các xác suất không đổi; rút không hoàn lại yêu cầu cập nhật số đếm. Giá trị kỳ vọng là tổng của mỗi kết quả có thể nhân với xác suất của nó, không nhất thiết phải là kết quả đạt được trong một lần thử nghiệm.
Sử dụng quy tắc nhân cho các lựa chọn liên tiếp. Với n đối tượng khác nhau, chọn r theo thứ tự cho n!/(n-r)!; chọn tập không xếp hạng cho n!/[r!(n-r)!]. Chia cho r! để loại bỏ các sắp xếp thứ tự trùng lặp của cùng một tập. Các công thức này giả định các đối tượng khác nhau và không hoàn lại; điều kiện khác cần số đếm tương ứng.
Translate the event to a count before calculating its probability. If a favourable event can occur in several disjoint ways, add those ways; if paths overlap, avoid double-counting. A numerical answer must be between zero and one for a probability, while an expected cost or score has the units of the outcomes.
Biên độ sai số được cộng vào và trừ đi dưới dạng phần trăm điểm. Ước lượng 63% với sai số 4 điểm cho 59%–67%. Đó là một khoảng từ quy trình, không phải là đảm bảo rằng phản hồi của mỗi người đều gần 63%. Lấy mẫu ngẫu nhiên hỗ trợ suy luận về quần thể; phân bổ ngẫu nhiên giải quyết các so sánh điều trị.
Ví dụ minh họa. Từ năm học sinh, số cặp trưởng phó là 5·4=20; số cặp không sắp xếp thứ tự là 5·4/2=10. Một trò chơi thưởng 4 điểm với xác suất 1/4 và 0 điểm trong các trường hợp còn lại, nên phần thưởng kỳ vọng là 1 điểm mỗi lượt chơi. Ước lượng mẫu là 52% ±3 phần trăm điểm, tương ứng từ 49%–55%; đây không phải là sự đảm bảo cho mọi mẫu hoặc cá nhân.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Sáu học sinh chọn chủ tịch và thư ký khác nhau. Có bao nhiêu cách phân công? Có bao nhiêu ủy ban hai người không thứ tự? Giải thích sự khác biệt.
Lập luận. Vai trò có thứ tự tạo ra $6(5)=30$. Số cặp không sắp xếp thứ tự bị đếm hai lần trong tích đó, nên thực tế chỉ có $6(5)/2=15$. Việc hoán đổi người thay đổi vai trò nhưng không thay đổi một ủy ban không có thứ tự.
Thực hành 2
Một trò chơi trả 12 token với xác suất 0.1, 3 với xác suất 0.4, và không trả gì ngược lại. Phí vào cửa là 2 token. Tìm khoản trả kỳ vọng và khoản lời ròng kỳ vọng. Người chơi có nhận được khoản tiền đó mỗi lần không?
Lập luận. Xác suất còn lại là 0.5. $E(P)=12(0.1)+3(0.4)+0(0.5)=2.4$ token. Giá trị kỳ vọng ròng là $E(G)=E(P)-2=0.4$ token cho mỗi lần chơi. Các kết quả ròng thực tế là 10,1, -2; không có giá trị nào bằng 0.4, vốn là trung bình dài hạn theo mô hình.
Thực hành 3
Hai quả bóng được rút không hoàn lại từ túi có 3 quả đỏ và 2 quả xanh. Tìm xác suất cả hai đều đỏ và chính xác một quả đỏ.
Lập luận. Là $P(RR)=(3/5)(2/4)=3/10$. Chính xác một màu đỏ có thể xảy ra như RB hoặc BR: là $P=(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5$. Mẫu số thứ hai là 4; các phép kéo là phụ thuộc lẫn nhau.
Thực hành 4
Một mẫu ngẫu gồm 500 thành viên đăng ký thư viện báo cáo 62% ủng hộ sự thay đổi, với sai số biên stated là 4 điểm phần trăm. Nêu khoảng tin cậy và quần thể. Điều này có thiết lập sự ủng hộ trong toàn bộ cư dân thị trấn không?
Reasoning. Interval is $62\%-4\%=58\%$ to $62\%+4\%=66\%$, where the subtraction denotes points. The population is registered members in the sampling frame. Nonmembers were not sampled, so the estimate does not establish all residents' support.
Thực hành 5
Bốn mươi tình nguyện viên được phân bổ ngẫu nhiên sang hướng dẫn cũ hoặc mới, với cùng một nhiệm vụ và điều kiện. Nhóm mới hoàn thành nhanh hơn. Những tuyên bố nguyên nhân và quần thể nào là hợp lý?
Lập luận. Phân bổ ngẫu nhiên hỗ trợ so sánh nhân quả giữa các phiên bản hướng dẫn cho những người tham gia dưới các điều kiện thử nghiệm, có tính đến sự biến thiên. Việc tuyển chọn tình nguyện viên hạn chế khả năng khái quát hóa cho tổng thể. Nó không khẳng định rằng mọi người dùng trong tương lai đều sẽ hoàn thành nhanh hơn.
Thực hành 6
Một khảo sát 10000 tình nguyện viên trang web có biên độ báo cáo hẹp. Giải thích tại sao chỉ kích thước không thể khắc phục sai lệch tuyển chọn, và đề xuất phương pháp tuyển dụng tốt hơn.
Lập luận. Những người chọn trả lời có thể khác biệt một cách hệ thống so với những người không trả lời. Khoảng sai số lấy mẫu không loại bỏ sự thiên lệch này. Hãy chọn ngẫu nhiên từ quần thể mục tiêu đã xác định và theo dõi các trường hợp không trả lời; vẫn phải báo cáo các hạn chế.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Thứ tự, hoàn lại và điều kiện thay đổi phép tính. Không bác bỏ một giả thuyết thống kê không đồng nghĩa với việc chứng minh nó đúng.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.