Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Khung ACT, phiên bản sửa đổi tháng Hai 2026. Các ví dụ lớp học ở đây không phải là biểu mẫu chính thức của ACT.
- Phân biệt hiệu số đại số với tỉ số hình học
- Tìm một số hạng hoặc tổng hữu hạn trong khi giữ chỉ số nhất quán
- Chuyển đổi phương trình logarit sang dạng lũy thừa trên miền xác định hợp lệ
Kiến thức nền tảng: Ký chỉ số; quy tắc lũy thừa; dãy số hữu hạn.
Giải thích và chọn phương pháp
Dãy số cộng có hiệu số không đổi d: aₙ=a₁+(n-1)d. Tổng hữu hạn của nó là n(a₁+aₙ)/2. Dãy số nhân có tỉ số không đổi r: aₙ=a₁r^(n-1). Đối với r≠1, tổng hữu hạn là a₁(1-rⁿ)/(1-r); khi r=1 thì chỉ là n a₁. Khớp với số hạng hoặc tổng được yêu cầu.
Mô hình lũy thừa A·bᵗ biểu thị phép nhân với b theo mỗi đơn vị thời gian nêu rõ. Tăng trưởng phần trăm r sử dụng nhân tố 1+r; các thay đổi lặp lại nhân các nhân tố chứ không cộng phần trăm. Nếu thời gian gấp đôi mất nhiều đơn vị thời gian, hãy chia t cho khoảng thời gian đó trong số mũ.
Đối với cơ số b>0 với b≠1, log_b(a)=c nghĩa là b^c=a và yêu cầu a>0. Giải phương trình logarit bằng cách chuyển nó thành mối quan hệ lũy thừa, sau đó kiểm tra đối số logarit. Logarit của tích cộng lại dưới điều kiện đối số dương hợp lệ; logarit không phân phối qua phép cộng.
Sử dụng lũy thừa chính xác khi có sẵn. ACT có thể kiểm tra mối quan hệ logarit đơn giản mà không cần bảng số liệu logarit. Một ước lượng tính toán vẫn phải tuân thủ cách biểu diễn và miền xác định của câu hỏi. Giữ riêng biệt về mặt khái niệm chỉ số của dãy số, thời gian của mô hình lũy thừa và đối số của logarit.
Cấp số cộng: $a_n=a_1+(n-1)d$. Tổng của nó là $S_n=n(a_1+a_n)/2$. Cấp số nhân : $a_n=a_1r^{n-1}$ và $S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)$ cho $r\ne1$. Logarithm đảo ngược lũy thừa: $\log_b a=c$ có nghĩa là $b^c=a$, với $a>0$, $b>0$, $b\ne1$.
Ví dụ giải. Cấp số cộng 4,7,10,… có a₅=16 và tổng năm số đầu=5(4+16)/2=50. Cấp số nhân 3,6,12,24 có tổng bốn số hạng 45. log₂(x-1)=4 cho x-1=16, do đó x=17, thỏa mãn x>1. Một quần thể 50·2^(t/3) đạt 200 sau sáu đơn vị thời gian.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Số ghế trong các hàng liên tiếp lần lượt là 12,16,20,… . Tìm số ghế ở hàng thứ tám và tổng số ghế trong tám hàng đầu tiên. Nêu giả định của mô hình.
Lý luận. Hiệu số không đổi là 4 ghế mỗi hàng. $a_8=a_1+7d=12+7(4)=40$ ghế. $S_8=8(a_1+a_8)/2=8(12+40)/2=208$ ghế. Điều này giả sử cùng một bước tăng bốn ghế xuyên suốt tám hàng.
Thực hành 2
Một cấp số nhân bắt đầu 5,15,45,… . Tìm số hạng thứ năm và tổng năm số hạng đầu. Giải thích sự thay đổi nếu công bội là 1.
Lý luận. $a_5=a_1r^4=5(3)^4=405$. $S_5=a_1(1-r^5)/(1-r)=5(1-243)/(1-3)=605$. Khi $r=1$, phân thức có mẫu số bằng không và tổng đúng là $na_1$, ở đây là 25 cho năm số hạng giống nhau.
Thực hành 3
Giải $\log_2(x-3)=5$ và giải thích tại sao $\log_2(x+3)$ nói chung không thể tách thành $\log_2x+\log_23$.
Lập luận. Miền xác định yêu cầu $x>3$. Dạng lũy thừa cho $x-3=32$, nên $x=35$ và đối số phải dương. Tổng các logarit tương ứng với tích $3x$, không phải $x+3$; tại $x=1$, đẳng thức đề xuất sẽ gán 2 bằng $\log_23$.
Thực hành 4
Mô hình nuôi cấy bắt đầu với 120 tế bào và phát triển theo hệ số 1.5 sau mỗi hai giờ. Viết $N(t)$ theo giờ $t$, tìm $N(4)$, và phân biệt hệ số với phần trăm tăng trưởng.
Lý luận. $N(t)=120(1.5)^{t/2}$ tế bào. $N(4)=120(1.5)^2=270$ tế bào. Sự phát triển là 50% sau hai giờ, không phải 150%; hệ số bốn giờ là 2.25. Hệ số mỗi giờ sẽ là $\sqrt{1.5}$.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Không dùng n thay vì n-1 cho số hạng thứ n, nhầm lẫn tổng hữu hạn với số hạng cuối cùng, hay khai triển log(a+b) thành log a + log b.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.