Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Khung ACT, phiên bản sửa đổi tháng Hai 2026. Các ví dụ lớp học ở đây không phải là biểu mẫu chính thức của ACT.
- Ghi nhận các ràng buộc mẫu số và căn thức trước khi giải
- Kiểm tra các giá trị ứng viên của phương trình đã biến đổi trong phương trình gốc
- Tìm và diễn giải các nghiệm đồng thời hoặc miền giá trị cho phép
Kiến thức nền tảng: Phân tích nhân tử; phép thế; ràng buộc miền xác định.
Giải thích và chọn phương pháp
Đối với biểu thức hữu tỉ, xác định các nghiệm của mẫu số trước khi rút gọn thừa số hoặc nhân phương trình với mẫu số. Rút gọn có thể loại bỏ một thừa số hiện hữu trong khi ràng buộc ban đầu vẫn còn. Rút gọn toàn bộ thừa số, không phải các số hạng riêng lẻ trong phép cộng.
Cô lập căn bậc hai và tôn trọng giá trị phi âm của nó trước khi bình phương. Bình phương bảo toàn nghiệm nhưng có thể thêm nghiệm giả, nên thế từng nghiệm giả vào biểu thức gốc. Lưu ý tương tự cũng áp dụng khi nhân với biểu thức có thể bằng 0. Một giá trị thỏa mãn đa thức đã biến đổi nhưng không thỏa mãn nguồn gốc là nghiệm extraneous.
Một hệ phương trình yêu cầu cùng một cặp có thứ tự thỏa mãn mọi phương trình. Thay thế đường thẳng vào hình tròn hoặc parabol, giải phương trình bậc hai thu được và tìm tọa độ thứ hai. Hệ phương trình tuyến tính có thể có một giao điểm, không giao điểm hoặc các đường trùng nhau. Đừng nhầm lẫn hai nghiệm đại số với hai hệ riêng biệt.
Đối với hệ bất phương trình, mỗi điều kiện cung cấp một vùng cho phép và lời giải là phần giao của chúng. Một điểm nằm trên biên chặt bị loại trừ ngay cả khi nó thỏa mãn bất phương trình khác. Kiểm tra một điểm đề xuất bằng cách thay thế vào từng bất phương trình ban đầu, bao gồm cả dấu bằng.
Một nghiệm tiềm năng phải thỏa mãn phương trình ban đầu. Trong $\sqrt{x+6}=x$, vế phải phải không âm. Lập bình phương cho $x^2-x-6=0$, nên các nghiệm ứng viên là $3,-2$. Chỉ có $3$ vượt qua kiểm tra gốc: $\sqrt9=3$.
*Thay thế đường thẳng vào đường tròn sẽ thu được cả hai điểm giao
Ví dụ giải mẫu. √(x+6)=x suy ra x≥0. Bình phương cả hai vế cho x²-x-6=0 với các ứng viên 3 và -2; chỉ có 3 thỏa mãn. Đối với x²+y²=25 và y=x+1, thay thế cho x²+x-12=0, suy ra (3,4) và (-4,-3). (x²-4)/(x-2) rút gọn thành x+2 với điều kiện x≠2, giữ nguyên ràng buộc này.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Giải đồng thời $x^2+y^2=25$ và $y=x-1$. Kiểm tra từng cặp có thứ tự trong cả hai phương trình.
Lập luận. Thay vào ta thu được $x^2+(x-1)^2=25$, hoặc $x^2-x-12=0$. Nghiệm là $4,-3$, mang lại $(4,3)$ và $(-3,-4)$. Cả hai đều cho bình phương tổng là 25 và thỏa mãn $y=x-1$.
Thực hành 2
Giải $\sqrt{3x+4}=x$ và mô tả tất cả các điểm thỏa $y\ge x+1$ và $y<4-x$.
Lập luận. Bình phương với $x\ge0$ cho $(x-4)(x+1)=0$; chỉ có $x=4$ là phù hợp. Vùng nằm trên/trên đường $y=x+1$ và dưới đường $y=4-x$. Nó chỉ tồn tại khi $x+1<4-x$, tức là $x<3/2$; giao điểm của chúng bị loại trừ.
Thực hành 3
Rút gọn $F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$. Nêu rõ mọi hạn chế gốc và giải thích vì sao $F$ không giống hệt $x/(x+4)$ trên toàn bộ miền xác định của công thức sau.
Lý luận. Phân tích tử số thành $x(x-4)$ và mẫu số thành $(x-4)(x+4)$. Tập xác định ban đầu loại trừ $x=4,-4$. Rút gọn cho $F(x)=x/(x+4)$ cho $x\ne4,-4$. Công thức sau này duy nhất cho phép $4$, nơi nó tạo ra $1/2$, trong khi $F(4)$ không xác định.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Các điều kiện hạn chế tồn tại sau khi rút gọn. Trong hệ đồng thời, kiểm tra cả hai tọa độ trong mọi quan hệ gốc.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.