พีทาโกรัสและตรีโกณมิติใน 3 มิติ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| space diagonal/speɪs daɪˈæɡənl/ | เส้นทแยงมุมในอวกาศ |
| base diagonal/beɪs daɪˈæɡənl/ | เส้นทแยงมุมฐาน |
เส้นทแยงมุมผ่านห้อง
- เกร็ดไม้ที่ยาวที่สุดที่ใส่ลงไปในกล่องได้ยาวเท่าไร? นั่นคือ เส้นทแยงมุมของปริภูมิ (space diagonal) — วิ่งจากมุมหนึ่งไปยังมุมตรงข้ามกันที่ไกลที่สุด.
- ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 3 มิติและตรีโกณมิติลดรูปปัญหานี้ให้เป็นสามเหลี่ยมแบนซ่อนอยู่ภายในตัว sólid.
กลยุทธ์: หาสามเหลี่ยมภายใน
- ปัญหา 3D ทุกปัญหากลายเป็นปัญหา 2D: จดจำ สามเหลี่ยมมุมฉากระหว่างตัว sólid, แล้วใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหรือตรีโกณมิติ对它.
- มักจะพบ เส้นทแยงมุมฐานก่อน, แล้วนำส่วนสูงเข้ามาเพื่อสร้างสามเหลี่ยมที่สอง.
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a² + b² = c². หลักการเดียวกันนี้เมื่อใช้ซ้ำสองครั้ง จะได้ความยาวภายในรูปทรง3-D
กล่องมีฐานกว้าง 6 ซม. ยาว 8 ซม. จงหาความยาวของเส้นทแยมุมฐาน (ซม.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(6² + 8²) = √100 = 10 ซม.
ในโจทย์ 3-D คุณมองหาสามเหลี่ยมมุมฉากภายในรูปทรงเพื่อใช้คำนวณ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
วิธีทั้งหมดสำหรับ 3 มิติคือการลดรูปให้เหลือเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากแบนๆ
ในปัญหา3D คุณมักหา ______ เส้นทแยงมุมก่อน แล้วนำไปใช้ร่วมกับความสูง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้นทแยมุมฐาน (หาได้จากพีทาโกรัส 2 มิติ) จะกลายเป็นด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากที่สองด้วยความสูง
ตัวอย่างวิธีทำ — เส้นทแยงมุมกล่อง
- กล่องมีฐาน $6\text{ cm} \times 8\text{ cm}$, ส่วนสูง $5\text{ cm}$.
- ขั้นตอนที่ 1 — เส้นทแยงมุมฐาน: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.
- ขั้นตอนที่ 2 — เส้นทแยงมุมปริภูมิ: $\sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 11.2\text{ cm}$.
กล่องมีขนาด 6, 8 และ 5 ซม. เส้นทแยมุมอวกาศคือ √(6² + 8² + 5²) จงหามัน (1 ตำแหน่งหลังจุดทศนิยม)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(36 + 64 + 25) = √125 ≈ 11.2 ซม.
ลูกบาศก์มีด้านยาว 3 ซม. เส้นทแยมุมอวกาศคือ √(3² + 3² + 3²) = √27 จงหามัน (2 ตำแหน่งหลังจุดทศนิยม)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√27 = 3√3 ≈ 5.20 ซม.
ตัวอย่างวิธีทำ — มุมต่อฐาน
- เส้นทแยงมุมฐาน ($10$) และส่วนสูง ($5$) สร้างเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก.
- $\tan\theta = \dfrac{5}{10} = 0.5$ ดังนั้น $\theta = \tan^{-1}(0.5) = 26.6^{\circ}$
ทางลัดทฤษฎีบทพีทาโกรัส 3D. เส้นทแยงมุมปริภูมิของกล่อง $l \times w \times h$ คือ $\sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$. สำหรับกล่องของเรา: $\sqrt{36 + 64 + 25} = \sqrt{125} = 11.2$ ซม.
สองขั้นตอน ไม่ใช่หนึ่งขั้นตอน. สำหรับมุม คุณจำเป็นต้องใช้เส้นทแยงมุมฐาน AND ส่วนสูงเพื่อสร้างสามเหลี่ยมที่สอง. การใช้เส้นทแยงมุมปริภูมิเป็นด้านจะทำให้ได้มุมที่ผิด.
เส้นทแยมุมฐานยาว 10 ซม. และความสูงของกล่อง 5 มุมต่อฐานมี tan θ = 5/10 จงหาค่า θ (องศา, 1 ตำแหน่งหลังจุดทศนิยม)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
θ = tan⁻¹(0.5) = 26.6°
ที่ที่ตรีโกณมิติ 3 มิติปรากฏขึ้น
- สถาปัตยกรรม: มุมของคานหลังคา, เส้นทแยงมุมของห้อง.
- วิศวกรรม: ความยาวของคานรองรับ, มุมของแขนเครน.
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 3 มิติคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส 2 มิติที่ใช้สองครั้ง — ครั้งแรกบนฐาน, ครั้งที่สองด้วยส่วนสูง.
คุณเข้าใจแล้ว
- ใน 3D, จดจำ สามเหลี่ยมมุมฉากระหว่างตัว sólid, แล้วใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส/ตรีโกณมิติ
- มักจะหา เส้นทแยงมุมฐาน ก่อน, แล้วนำส่วนสูงเข้ามา
- กล่อง $6 \times 8 \times 5$: เส้นทแยงมุมฐาน $10$, เส้นทแยงมุมปริภูมิ $\sqrt{125} \approx 11.2$, มุม $26.6^{\circ}$