กฎ سینและกฎโคไซน์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| sine rule/saɪn ruːl/ | กฎของไซน์ |
| cosine rule/ˈkəʊsaɪn ruːl/ | กฎของโคไซน์ |
| included angle/ɪnˈkluːdɪd ˈæŋɡl/ | มุมที่夹อยู่ระหว่างด้าน |
เมื่อสามเหลี่ยมไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก
- ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและ SOH-CAH-TOA ใช้ได้เฉพาะกับ สามเหลี่ยมมุมฉาก เท่านั้น.
- สำหรับสามเหลี่ยมประเภทอื่น คุณต้องใช้ กฎของไซน์ หรือ กฎของโคไซน์.
กฎของไซน์
- สำหรับสามเหลี่ยมที่มีด้าน $a, b, c$ อยู่ตรงข้ามมุม $A, B, C$:
- ใช้เมื่อคุณรู้: ด้านหนึ่งและมุมตรงข้ามของมัน รวมถึงข้อมูลอีกอย่างหนึ่ง.
$a = 10$, $A = 30^{\circ}$, $B = 50^{\circ}$: $\;\dfrac{10}{\sin 30^{\circ}} = \dfrac{b}{\sin 50^{\circ}} \Rightarrow b = \dfrac{10 \sin 50^{\circ}}{0.5} = 15.3$.
$y=\sin x$ และ $y=\cos x$ เป็นคลื่นเรียบระหว่าง $-1$ และ $1$; โคซINEคือไซน์ที่ถูกเลื่อนไปทางซ้าย $90^\circ$
กฎ سین & กฎโคไซน์
สองด้านและมุมระหว่างมันกำหนดรูปสามเหลี่ยม: กฎโคไซน์หาด้านที่สาม กฎسينหามุมอื่นๆ
ความหมายของ sin และ cos
หมุนมุมบนวงกลมหน่วย: ขาแนวนอนคือ cos θ และขาแนวตั้งคือ sin θ — ซึ่งเป็นอัตราส่วนเดียวกันที่ใช้ในกฎ سینและกฎโคไซน์
คุณทราบด้านทั้งสามและต้องการหามุม ควรใช้กฎใด?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ด้วยสามด้าน (หรือสองด้านและมุมที่ปิดกัน) ให้ใช้กฎโคไซน์
กฎ سینต้องการด้านและมุมตรงข้ามด้านนั้นทราบมา
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คุณต้องมีอย่างน้อยหนึ่งคู่ของด้านกับมุมตรงข้ามเพื่อใช้กฎ سین
ในสามเหลี่ยม a = 10, A = 30°, B = 50° ใช้กฎ سین b = 10 sin 50° / sin 30° จงหาค่า b (1 ตำแหน่งหลังจุดทศนิยม)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
b = 10 × sin 50° / 0.5 = 10 × 0.766 / 0.5 = 15.3
กฎของโคไซน์
- ใช้เมื่อคุณรู้: สองด้านและมุมที่includedระหว่างมัน (เพื่อหาด้านที่สาม), หรือ สามด้านทั้งหมด (เพื่อหามุม).
มีเพียงมุมที่includedเท่านั้น. มุม $A$ ในกฎของโคไซน์ต้องเป็นมุม ระหว่าง ด้าน $b$ และ $c$. ถ้าไม่เป็นมุมที่included สูตรจะไม่สามารถใช้โดยตรงได้.
在任何三角形中，sides $a,b,c$ lie opposite angles $A,B,C$; the sine and cosine rules use these
สามเหลี่ยมมี b = 7, c = 8 และมุมระหว่างมัน A = 40° ใช้ a² = 49 + 64 − 2(7)(8)cos40° ≈ 27.2 เพื่อหาค่า a (1 ตำแหน่งหลังจุดทศนิยม)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
a = √27.2 ≈ 5.2 ซม.
ในกฎโคไซน์ a² = b² + c² − 2bc cos A มุม A ต้องเป็นมุม ______ ระหว่างด้าน b และ c
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A ต้องเป็นมุมที่ปิดกัน (มุมระหว่างด้าน b และ c)
พื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ
- วิธีนี้ใช้ได้กับ สามเหลี่ยม ทุกรูปแบบ (ไม่จำกัดแค่สามเหลี่ยมมุมฉาก) โดยใช้สองด้านและมุมที่includedระหว่างมัน.
พื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ (สองด้าน a, b ที่มีมุม C ระหว่าง them):
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Area = ½ab sin C ใช้สองด้านและมุมที่ปิดกัน
ตัวอย่างวิธีทำ
- $b = 7$, $c = 8$, มุมที่included $A = 40^{\circ}$.
- $a^2 = 7^2 + 8^2 - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 49 + 64 - 85.8 = 27.2$, ดังนั้น $a = 5.2$ ซม.
กฎของโคไซน์ขยายทฤษฎีบทพีทาโกรัส: เมื่อ $A = 90^{\circ}$, $\cos A = 0$ และคุณจะได้ $a^2 = b^2 + c^2$.
ด้าน a = 5, b = 7, c = 8 จงหามุม A ซึ่งอยู่ตรงข้ามด้าน a เป็น 1 ตำแหน่งทศนิยม
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cos A = (49+64−25)/112 = 11/14, ดังนั้น A ≈ 38.2°
การหามุมและการตรวจสอบความเป็นไปได้อื่น
- ด้วยด้าน $a=5,b=7,c=8$, ใช้ $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(49+64-25)/112=11/14$. ดังนั้น $A=\cos^{-1}(11/14)\approx38.2^{\circ}$
- ในโจทย์กฎไซน์, $a=10,A=30^{\circ},b=12$ ให้ $\sin B=b\sin A/a=0.6$. ทั้ง $B\approx36.9^{\circ}$ และ $143.1^{\circ}$ ทิ้งมุมที่สามเป็นบวกไว้, ดังนั้นสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้มีสองรูป. ใช้เงื่อนไขเพิ่มเติมใดๆ เช่น B เป็นมุมทแยงเพื่อเลือก
ด้านสองยาว 7 ซม. และ 8 ซม. รวมมุม 40°. หาค่าพื้นที่ถึง 1 ทศนิยมในหน่วย ซม.²
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
พื้นที่ = ½ × 7 × 8 × sin 40° ≈ 18.0 ซม.²
พื้นที่พร้อมมุมร่วม
- สองด้าน 7 ซม. และ 8 ซม. รวมมุม $40^{\circ}$. ใช้ $K=\frac12bc\sin A=\frac12(7)(8)\sin40^{\circ}\approx18.0\text{ cm}^2$
- มุมต้องอยู่ระหว่างสองด้านที่ใช้. เก็บโหมดองศาและค่าตรีโกณมิติเต็มรูปแบบจนกว่าจะปัดเศษสุดท้าย
คุณเข้าใจแล้ว
- กฎของไซน์: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ — ด้าน + มุมตรงข้าม
- กฎของโคไซน์: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ — สองด้าน + มุมที่included (หรือสามด้าน)
- พื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ $= \dfrac{1}{2}ab\sin C$