ค่าที่แน่นอน กราฟ และสมการตรีโกณมิติ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| exact values/eɡˈzækt ˈvæljuːz/ | ค่าที่แน่นอน |
| trig graphs/trɪɡ ɡræfz/ | กราฟตรีโกณมิติ |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | เส้นประ |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | ความสมมาตร |
ค่าที่คุณต้องท่องจำ
- ค่า Trigonometry บางค่าสำคัญมากจนคุณต้องใช้โดยไม่ใช้เครื่องคิดเลข มันมาจากสามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษสองรูป: $45$-$45$-$90$ และ $30$-$60$-$90$
ตารางค่าที่แน่นอน
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | ไม่ทราบค่า |
เทคนิคการจำสำหรับ Sine: $0, 1, 2, 3, 4$ ภายใต้รากและเหนือ $2$: $\;\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$. Cosine เป็นแบบกลับกัน
รถเหวี่ยง: จุดบนขอบวงล้อลากเส้นโค้ง Sine
กราฟตรีโกณมิติ & สมการ
(cos θ, sin θ)
เมื่อ θ หมุน sin และ cos จะสร้างคลื่นTheir — และซ้ำทุก 360°
ค่าที่แน่นอนของ sin 30° คืออะไร? (ในรูปทศนิยม)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sin 30° = 1/2 = 0.5
ค่าที่แน่นอนของ tan 45° คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
tan 45° = 1 (ด้านตรงข้ามมุม = ด้านประชิดมุม ในสามเหลี่ยม 45-45-90)
cos 60° = 1/2
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
cos 60° = 1/2 เป็นหนึ่งในค่าที่จำต้องจดจำ
กราฟตรีโกณมิติ
- $y = \sin x$ และ $y = \cos x$ เป็นคลื่นที่สั่นสะเทือนระหว่าง $-1$ และ $1$.
- $y = \tan x$ ซ้ำทุก $180^{\circ}$ และมีเส้นประจันในแนวตั้งที่ $90^{\circ}$ และ $270^{\circ}$.
กราฟตรีโกณมิติเป็นคลื่น — ไซน์และโคไซน์สั่นสะเทือนระหว่าง $-1$ และ $1$, แตนเจนต์ซ้ำทุก $180^{\circ}$.
คำตอบสองค่า สมการตรีโกณมิติมักจะมี สอง คำตอบใน $0^{\circ}$–$360^{\circ}$. สำหรับ $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $x = 60^{\circ}$ หรือ $x = 180 - 60 = 120^{\circ}$. อย่าลืมคำตอบที่สอง.
การแก้สมการตรีโกณมิติ
- หา คำตอบแรก โดยใช้ฟังก์ชันผกผัน (inverse function).
- ใช้ ความสมมาตร ของกราฟเพื่อหาคำตอบที่สอง:
- สำหรับค่าไซน์ที่เป็นบวกใน $0^{\circ}\le x<360^{\circ}$, คำตอบที่สองคือ $180^{\circ}-x$; สำหรับค่าลบให้ใช้กราฟครึ่งล่าง
- $\cos x = k$: คำตอบที่สองคือ $360^{\circ} - x$.
สามเหลี่ยมพิเศษสองรูปให้ค่าที่แม่นยำ: สามเหลี่ยม $45^\circ$ และสามเหลี่ยม $30^\circ$-$60^\circ$
แก้สมการ sin x = √3/2 สำหรับช่วง 0–360° คำตอบหนึ่งคือ 60° คำตอบอื่นคืออะไร (องศา)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
คลื่นไซน์สมมาตรรอบ 90°: 180 − 60 = 120°
แก้สมการ 2cos x + 1 = 0 สำหรับช่วง 0–360° คำตอบหนึ่งคือ 120° คำตอบอื่นคืออะไร (องศา)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cos x = −1/2 ทำให้ได้ x = 120° หรือ 360 − 120 = 240°
ถ้า sin x = k มีคำตอบเดียว x = 40° คำตอบที่สองคือ 180 − ______ = ______°
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คำตอบที่สองของฟังก์ชันไซน์คือ 180° − 40° = 140°
ตัวอย่างวิธีทำ
- $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = 60^{\circ}$ หรือ $120^{\circ}$.
- $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 120^{\circ}$ หรือ $240^{\circ}$.
ค่าตรีโกณมิติลบและสมการแทนเจนท์
- ใน $0^{\circ}\le x<360^{\circ}$, $\sin x=-1/2$ มีค่าน้อยกว่าศูนย์ใต้แกนแนวนอน: $x=210^{\circ},330^{\circ}$. ค่าจากเครื่องคิดเลข $-30^{\circ}$ ต้องถูกแทนที่ด้วยค่าเทียบเท่า $330^{\circ}$ ภายในช่วงที่กำหนด
- แทนเจนท์ซ้ำทุก $180^{\circ}$: $\tan x=1$ ให้ $x=45^{\circ},225^{\circ}$ ในช่วงนี้. ที่ $0$, $90$, $180$, $270$, $360^{\circ}$ ตรวจสอบจุดปลายและค่าที่ไม่ได้กำหนดแทนที่จะสันนิษฐานว่าสมการแต่ละตัวมีคำตอบสองคำตอบเสมอ
จงหาคำตอบที่น้อยกว่าของสมการ sin x = −1/2 สำหรับ 0° ≤ x < 360°
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sine เป็นลบในจตุภาคที่ III และ IV; คำตอบคือ 210° และ 330°
คุณเข้าใจแล้ว
- รู้ค่าที่แม่นยำ: $\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, $\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, $\tan 45^{\circ} = 1$
- คลื่นไซน์และโคไซน์วิ่งระหว่าง $-1$ และ $1$
- สมการตรีโกณมิติมักจะมี สอง คำตอบใน $0^{\circ}$–$360^{\circ}$