ตรีโกณมิติในสามเหลี่ยมมุมฉาก
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| trigonometry/ˌtrɪɡəˈnɒmətri/ | ตรีโกณมิติ |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | ด้านตรงข้าม |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | ด้านประชิด |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | มุมยกสูง |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | มุมลดต่ำ |
ต้นไม้นั้นสูงแค่ไหน?
- คุณไม่สามารถวัดด้วยตลับเมตรขึ้นไปได้ แต่การยืนห่าง $10$ เมตรและมองขึ้นไปที่ $50^{\circ}$, Trigonometry จะบอกความสูงของคุณ: $10 \times \tan 50^{\circ} \approx 11.9$ เมตร
- Trigonometry วัดสิ่งที่วัดไม่ได้ — โดยใช้มุมและความยาวที่ทราบหนึ่งค่า
การตั้งชื่อด้าน
- ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้ตั้งชื่อด้านตามมุม $\theta$:
- Opposite (O): ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับ $\theta$
- Adjacent (A): ด้านที่อยู่ติดกับ $\theta$ (ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก)
- Hypotenuse (H): ด้านที่ยาวที่สุด, ตรงข้ามมุมฉาก
SOH-CAH-TOA: สัดส่วนสามอย่างที่เชื่อมโยงมุมกับความยาวด้านในสามเหลี่ยมมุมฉาก
ตรีโกณมิติสามเหลี่ยมมุมฉาก
(cos θ, sin θ)
SOHCAHTOA มาจากวงกลมนี้ — sin, cos และ tan ของมุมนั้น
สัดส่วนสามอย่าง — SOH CAH TOA
- ในการหา ด้าน: ใช้สัดส่วนและคูณ/หาร
- ในการหา มุม: ใช้ Inverse ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$)
Opposite $4$, Adjacent $3$: $\;\tan\theta = \dfrac{4}{3}$, ดังนั้น $\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{4}{3}\right) = 53.1^{\circ}$
การมองขึ้นไปหาหอคอยเกี่ยวข้องกับมุมยกสูง
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 10 ซม. และมุมมีขนาด 30° ด้านตรงข้ามมุม = 10 × sin 30° จงหามัน (ซม.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
10 × sin 30° = 10 × 0.5 = 5 ซม.
ด้านตรงข้ามมุมยาว 4 ซม. และด้านประชิดมุมยาว 3 ซม. จงหาขนาดของมุม (องศา, 1 ตำแหน่งหลังจุดทศนิยม)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
tan θ = 4/3 ดังนั้น θ = tan⁻¹(4/3) = 53.1°
ด้านประชิดมุมยาว 8 ซม. และมุมมีขนาด 60° ด้านตรงข้ามมุมฉาก = 8 / cos 60° จงหามัน (ซม.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cos 60° = 0.5 ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉาก = 8 / 0.5 = 16 ซม.
ใน SOH CAH TOA, sin θ = ด้านตรงข้ามมุม / ______
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
SOH: sin θ = ด้านตรงข้ามมุม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
มุมยกสูงและมุมลดต่ำ (ส่วนขยาย)
- มุมยกสูง (Angle of elevation): มอง ขึ้น จากแนวนอน
- มุมลดต่ำ (Angle of depression): มอง ลง จากแนวนอน
- ทั้งคู่วัดจากแนวราบ ไม่ใช่จากแนวตั้ง
จากแนวราบเสมอ. มุมยกสูง/มุมลดต่ำวัดจากเส้นแนวนอน ไม่ใช่จากแนวตั้ง นี่คือข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในโจทย์ประเภทนี้
ตั้งชื่อด้านจากมุม $\theta$: Opposite อยู่ตรงข้าม, Adjacent อยู่ข้างๆ, Hypotenuse ตรงข้ามมุมฉาก (SOH-CAH-TOA)
จากจุดห่างจากฐานหอคอย 50 มุมมองขึ้นไปยังยอดหอคอยมีค่า 40° ความสูง = 50 × tan 40° จงหามัน (ม., 1 ตำแหน่งหลังจุดทศนิยม)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
50 × tan 40° = 50 × 0.839 = 42.0 ม.
มุมมองขึ้นถูกวัดจากแนวตั้ง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทั้งมุมมองขึ้นและมุมมองลงถูกวัดจากแนวนอน ไม่ใช่แนวตั้ง
ตัวอย่างวิธีทำ
- ระยะทาง $50$ เมตร จากหอคอย, ความชันของมุม $40^{\circ}$:
- $h=d\tan\theta=50\tan40^{\circ}\approx42.0$ เมตร เก็บค่าเต็มของค่าแทนเจนต์จากเครื่องคิดเลขก่อนทอนทศนิยม
มุมยกสูงมองขึ้นจากแนวนอน; มุมลดต่ำมองลง
คุณเข้าใจแล้ว
- SOH: $\sin\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$; CAH: $\cos\theta = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$; TOA: $\tan\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$
- ใช้ Inverse ($\tan^{-1}$ ฯลฯ) เพื่อหามุม
- มุมยกสูงมองขึ้น, มุมลดต่ำมองลง — ทั้งคู่วัดจาก แนวราบ