เส้นขนานและเส้นตั้งฉาก
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| parallel/ˈpærəlel/ | ขนานกัน |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | ตั้งฉาก |
| negative reciprocal/ˈneɡətɪv rɪˈsɪprəkl/ | ค่าลบกลับด้าน |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก |
รेलways และตารางเมือง
- ทางรถไฟวิ่ง ขนานกัน — มีความชันเท่ากัน ไม่เคยตัดกัน ยาวไกลไปจนถึงขอบฟ้า
- ถนนในเมืองที่วางผังมาอย่างมีระบบอย่างนิวยอร์กหรือบาร์เซโลนากั้นตัดกันใน มุมฉาก สร้างเป็นตาราง
- ทั้งสองแนวคิด — ขนานกันและตั้งฉากกัน — ลดเหลือเพียงสิ่งเดียว: ความชัน
เส้นขนาน
- เส้นขนาน ไม่เคยตัดกัน ไม่ว่าคุณจะยืดออกไปไกลแค่ไหน
- เส้นตรงที่ไม่ตั้งฉากกันจะขนานกันเมื่อมีความชัน เท่ากัน เส้นตั้งฉากก็ขนานกันด้วย แต่ไม่มีความชันที่กำหนดไว้
- $y = 4x - 1$ และ $y = 4x + 7$ ขนานกัน (ทั้งสองมีความ $m = 4$)
หาเส้นขนาน เส้นที่ขนานกับ $y = 4x - 1$ ผ่าน $(1, -3)$: มีความชันเท่ากัน $4$, ดังนั้น $-3 = 4(1) + c \Rightarrow c = -7$. สมการคือ $y = 4x - 7$.
เส้นขนานมีความชันเท่ากัน; ความชันของเส้นตั้งฉากกันคูณกันได้ $-1$
ขนาน & ตั้งฉาก
y = ax + b
ขนาน意味着 share a gradient; ตั้งฉากgradient multiply to −1.
เส้นตรงขนานกับ y = 4x − 1 และผ่านจุด (1, −3) ในสมการ y = 4x + c ค่า c มีค่าเท่าใด?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ขนาน → มีความชันเท่ากันคือ 4 −3 = 4(1) + c, ดังนั้น c = −7
เส้นตรงใดขนานกับ y = −2x + 5?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้นขนานกันมีความชันเท่ากัน y = −2x − 3 มีความชัน −2 เหมือนกับ y = −2x + 5
เส้นตั้งฉาก (ขยายความ)
- สองเส้นเป็น เส้นตั้งฉาก เมื่อตัดกันที่มุมฉาก ($90°$).
- ความชันของทั้งสองเส้นคูณกันได้ $-1$:
- เป็นภาษาพูด: กลับเศษส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมาย (ค่า ผกผันติดลบ).
- ความชัน $\dfrac{3}{2}$ → ความชันของเส้นตั้งฉาก $-\dfrac{2}{3}$.
ขนาน (สีฟ้า): ความชันเท่ากัน. ตั้งฉาก (สีชมพู + ม่วง): ความชันคูณกันได้ $-1$.
เส้นตรงมีความชัน 3/2 ความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงนี้คือ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สลับตำแหน่งและเปลี่ยนเครื่องหมาย: ความชันตั้งฉาก = −1 ÷ (3/2) = −2/3
เส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกันมีความชันที่คูณกันได้ −1
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
m₁ × m₂ = −1 เป็นคุณสมบัติที่กำหนดของความชันตั้งฉาก
ถ้าเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกัน แล้ว m₁ × m₂ = ______
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ผลคูณของความชันตั้งฉากจะมีค่าเป็น −1 เสมอ
ตัวอย่างวิธีทำ — เส้นตั้งฉาก
- หาเส้นที่ตั้งฉากกับ $y = 2x + 3$ ผ่าน $(4, 1)$.
- ความชันเดิม $m_1 = 2$, ดังนั้นความชันของเส้นตั้งฉาก $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.
- แทนค่า: $1 = -\dfrac{1}{2}(4) + c \Rightarrow 1 = -2 + c \Rightarrow c = 3$
- เส้นที่ตั้งฉากคือ $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.
อย่าลืมทั้งสองขั้นตอน. ความชันของเส้นตั้งฉากคือ กลับเศษส่วน AND เปลี่ยนเครื่องหมาย. ความชัน $3$ → ตั้งฉาก $-\dfrac{1}{3}$ (ไม่ใช่ $\dfrac{1}{3}$, ซึ่งจะแค่ค่าผกผันเท่านั้น).
เส้นตรงมีความชัน 5 ความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงนี้คือ?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ความชันตั้งฉาก = −1/5 = −0.2
เส้นกลางตั้งฉาก (ขยายความ)
- เส้นกลางตั้งฉาก ของท่อนั้นจะตัดทอนั้นให้ครึ่งหนึ่งที่มุมฉาก.
- วิธีทำ (สามขั้นตอน):
- 1. หา จุดกึ่งกลาง ของท่อนั้น.
- 2. หา ความชันของเส้นตั้งฉาก ($-\dfrac{1}{m}$).
- 3. ใช้ความชันของเส้นตั้งฉากและจุดกึ่งกลางเพื่อเขียนสมการ.
จับคู่คู่ความชัน (m₁, m₂) กับความสัมพันธ์ระหว่างเส้นตรง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2/3 × (−3/2) = −1 → ตั้งฉาก; 4 = 4 → ขนาน; 1 × (−1) = −1 → ตั้งฉาก; 5 × (−5) = −25 ≠ −1 และ 5 ≠ −5 → ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
เรียงลำดับขั้นตอนในการหาเส้นกลางตั้งฉากของจุด (0, 0) และ (6, 2)
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
เริ่มจากหาจุดกึ่งกลาง ตามด้วยความชันของส่วนเชื่อม แล้วสลับตำแหน่งและเปลี่ยนเครื่องหมายเพื่อหาความชันตั้งฉาก สุดท้ายแทนค่าลงในสมการ y = mx + c
นักวางแผนเมืองและกฎความชัน
- ตารางถนนแมนฮัตตันถูกวางผังในปี 1811 โดยมีถนนหลักวิ่งแนวเหนือ-ใต้และถนนรองวิ่งแนวตะวันออก-ตะวันตก — ทั้งหมดตั้งฉากกัน.
- ในทางตรงกันข้าม เมืองยุโรปโบราณมีถนนที่ตัดกันทุกมุม — ไม่มีกฎความชันเลย.
- วิศวกรใช้ความชันของเส้นตั้งฉากเพื่อออกแบบ ทางแยก, ทางผ่านรถไฟ, และ ฐานอาคาร.
คุณเข้าใจแล้ว
- ขนาน → ความชันเท่ากัน ($m_1 = m_2$)
- ตั้งฉาก → ความชันคูณกันได้ $-1$ ($m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$, "กลับเศษส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมาย")
- เส้นกลางตั้งฉาก = ความชันของเส้นตั้งฉากผ่านจุดกึ่งกลาง
- ขนานกับ $y = 4x - 1$ ผ่าน $(1, -3)$ → $y = 4x - 7$