ความยาวและจุดกึ่งกลาง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| line segment/laɪn ˈseɡmənt/ | เส้นตรง |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | ด้านตรงข้ามมุมฉาก |
| Pythagoras/paɪˈθæɡərəs/ | ทฤษฎีบทของพิทาโกรัส |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | จุดกึ่งกลาง |
ระยะทางจริงๆ แล้วคืออะไร?
- โทรศัพท์ของคุณบอกว่าร้านกาแฟอยู่ไกล 1.2 กิโลเมตร —但那那是 เส้นตรง ระยะทาง, ไม่ใช่การเดินคดเคี้ยวไปตามถนน.
- ในเรขาคณิตพิกัด เรามักต้องการ ระยะทางเส้นตรงที่แน่นอน ระหว่างจุดสองจุด.
- เครื่องมือ? ทฤษฎีบทที่มีอายุ 2500 ปี.
ห้องปฏิบัติการความยาวและจุดกึ่งกลาง
จุดกึ่งกลางอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดปลาย
เคลื่อนที่ตามส่วนของเส้นตรงและดูจุดกึ่งกลางว่าเป็นครึ่งหนึ่งของระยะ
ความยาวของท่อน (ขยายความ)
- ท่อน คือส่วนตรงระหว่างสองจุด $(x_1, y_1)$ และ $(x_2, y_2)$.
- วาดสามเหลี่ยมมุมฉากโดยให้ท่อนเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก:
- ระยะห่างแนวนอนคือ $x_2 - x_1$ และระยะห่างแนวตั้งคือ $y_2 - y_1$
- โดย ทฤษฎีบทของพิทาโกรัส ความยาวคือ:
ระยะห่างข้าม (3) และระยะห่างขึ้น (4) ให้ความยาวโดยทฤษฎีบทของพิทาโกรัส; จุดกึ่งกลางคือค่าเฉลี่ยของพิกัด
ตัวอย่างวิธีทำ — ความยาว
- หาความยาวจาก $(1, 2)$ ถึง $(4, 6)$
- ระยะห่างแนวนอน $= 4 - 1 = 3$; ระยะห่างแนวตั้ง $= 6 - 2 = 4$
- ความยาว $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
- สามเหลี่ยมมุมฉากแบบ 3-4-5 ทำให้ได้คำตอบที่ชัดเจน
พิทาโกรัสหาความยาว (ด้านตรงข้ามมุมฉาก); การหาค่าเฉลี่ยหาจุดกึ่งกลาง (ดาว)
จากจุดกำเนิด ความยาวจาก $(0, 0)$ ถึง $(3, 4)$: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ สามเหลี่ยมเดียวกัน แต่จุดเริ่มต้นต่างกัน
หาความยาวของส่วนจาก (1, 2) ถึง (4, 6)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
หาความยาวของส่วนจาก (0, 0) ถึง (3, 4)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 สามเหลี่ยมคลาสสิก 3-4-5
หาความยาวของส่วนจาก (1, 5) ถึง (7, 5)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
จุดทั้งสองมีค่า y = 5 (ส่วนแนวนอน) ความยาว = 7 − 1 = 6
จุดกึ่งกลางของเส้นตรง (ส่วนขยาย)
- จุดกึ่งกลาง คือจุดที่อยู่กึ่งกลางพอดีระหว่างปลายทั้งสอง
- หาได้โดยการ หาค่าเฉลี่ย ของแต่ละพิกัด:
- มันคือ "กึ่งกลาง" $x$ คู่กับ "กึ่งกลาง" $y$
ตัวอย่างวิธีทำ — จุดกึ่งกลาง
- หาค่าจุดกึ่งกลางจาก $(1, 2)$ ถึง $(4, 6)$
- กึ่ง $x = \dfrac{1 + 4}{2} = \dfrac{5}{2} = 2.5$
- กึ่ง $y = \dfrac{2 + 6}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$
- จุดกึ่งกลาง $= (2.5,\, 4)$ — อยู่กึ่งกลางพอดีตามเส้น
หาค่าเฉลี่ย อย่าบวก จุดกึ่งกลางของ $(1, 2)$ และ $(4, 6)$ คือ $(2.5, 4)$, ไม่ใช่ $(5, 8)$ คุณต้อง หารด้วย 2 — การหาค่าเฉลี่ย ไม่ใช่การบวก
จุดกึ่งกลางของ (1, 2) และ (4, 6) คือ (a, 4) ค่าของ a คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เฉลี่ยค่า x: (1 + 4)/2 = 2.5
จุดกึ่งกลางของ (2, 3) และ (8, 9) คือ (5, b) ค่าของ b คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เฉลี่ยค่า y: (3 + 9)/2 = 6
พิกัด x ของจุดกึ่งกลางของ (x₁, y₁) และ (x₂, y₂) คือ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
จุดกึ่งกลางคือค่าเฉลี่ยของแต่ละพิกัด: (x₁ + x₂)/2. ตัวเลือก 2ลืมหาร; ตัวเลือก 3ให้ครึ่งหนึ่งของช่องว่าง ไม่ใช่ตำแหน่ง
เติมเต็ม: พิกัด x ของจุดกึ่งกลาง = (x₁ + ______) / 2
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พิกัด x ของจุดกึ่งกลางคือค่าเฉลี่ยของค่า x ทั้งสอง: (x₁ + x₂)/2
ครอบครัวสามเหลี่ยม 3-4-5
- สามเหลี่ยมที่มีด้าน $3, 4, 5$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็น จำนวนเต็ม เล็กที่สุด
- ค่าคูณก็ใช้ได้เช่นกัน: $6, 8, 10$ และ $9, 12, 15$ ก็เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเช่นกัน
- คุณจะเห็นครอบครัวนี้บ่อยๆ ในข้อสอบ — จดจำไว้เพื่อประหยัดเวลา
สำหรับส่วนแนวนอน (ค่า y เหมือนกัน) ความยาวคือผลต่างของค่า x โดยตรง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เมื่อ y₁ = y₂ สูตรจะลดรูปเหลือ √((x₂−x₁)²) = |x₂ − x₁|
จับคู่แต่ละส่วนกับความยาวของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(0,0)–(5,0) เป็นแนวนอน ความยาว 5 (1,1)–(1,4) เป็นแนวตั้ง ความยาว 3 (0,0)–(6,8): √(36+64) = √100 = 10 (2,3)–(5,7): √(9+16) = √25 = 5
คุณเข้าใจแล้ว
- ความยาว $= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ (ใช้ทฤษฎีบทพิทาโกรัสกับระยะห่างแนวนอนและแนวตั้ง)
- จุดกึ่งกลาง $= \left( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \; \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right)$ (หาค่าเฉลี่ยของแต่ละพิกัด)
- จาก $(1,2)$ ถึง $(4,6)$: ความยาว $5$, จุดกึ่งกลาง $(2.5,\, 4)$
- สามเหลี่ยมมุมฉาก 3-4-5 ปรากฏบ่อย — จดจำให้เร็ว