อินทิเกรชัน
Introduced| English | ไทย |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | integration |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | อินทิกรัล_examples |
| fundamental theorem of calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | ทฤษฎีบทหลักของแคลคูลัส |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | ค่าคงที่ของการอินทิเกรต |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | การอินทิเกรตด้วยการแทนตัวแปร |
การสะสมที่มีเครื่องหมายสามารถหักล้างกันได้
- การอินทิเกรต สามารถกู้คืนฟังก์ชัน=additive หรือคำนวณการสะสมที่มีเครื่องหมาย อินทิกรัล_examples ไม่จำเป็นต้องเป็นพื้นที่เรขาคณิตที่ไม่ลบเสมอไป
- สำหรับฟังก์ชันthat continuously, ทฤษฎีบทพื้นฐานของการวิเคราะห์, เชื่อมโยงอินทิกรัล_examples กับฟังก์ชัน=additive ที่ประเมินที่ขอบเขตของมัน
รักษาคู่อินทิกรัล=additive
- อินทิกรัลที่ไม่จำกัดจำเป็นต้องมี ค่าคงที่ของการอินทิเกรต เพราะการหาอนุพันธ์ของค่าคงที่ใดๆ จะได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ สูตรกำลังคือ $\int x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ สำหรับ $n\ne-1$ บนโดเมนที่ใช้ได้
- ข้อยกเว้นคือ $\int1/x\,dx=\ln|x|+C$ บนช่วงที่ไม่ผ่านจุดศูนย์ ต้องพิจารณาโดเมนที่เป็นบวกหรือลบก่อนเลือกสูตรลอการิทึม
อินทิเกรต x³ เทียบกับ x อย่าลืมเพิ่มค่าคงที่
เพิ่มเลขชี้กำลังหนึ่งแล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่ แล้วบวก c เพราะค่าคงที่ใดๆ เมื่อหาอนุพันธ์จะได้ศูนย์
อินทิกรัลจำกัดขอบเขตไม่จำเป็นต้องใช้ค่าคงที่ของการอินทิเกรต
ค่าคงที่จะตัดกันใน F(b) − F(a) ใช้เฉพาะในอินทิกรัลไม่มีขอบเขตเท่านั้น — และ在那个地方它是必须的。
ในประโยคภาษาอังกฤษเดียว อธิบายว่าทำไมอินทิกรัลไม่มีขอบเขตจึงต้องใช้ "+ c"
ตัวอย่าง: "ค่าคงที่ใดๆ เมื่อหาอนุพันธ์จะได้ศูนย์ ดังนั้นค่าคงที่เดิมจึงไม่สามารถกู้คืนได้จากอนุพันธ์"
คำนวณค่าบนลบด้วยค่าล่าง
- อินทิกรัลจำกัด ให้ผลลัพธ์เป็น $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ เมื่อใช้วิธีหาฟังก์ชันต้นแบบได้ แทนค่าขอบเขตทั้งสองลงใน F เดียวกัน
- ค่า C จะตัดกันในการแทนค่าเหล่านี้ สำหรับพื้นที่ทางเรขาคณิต ให้แบ่งช่วงที่กราฟเปลี่ยนเครื่องหมายหรือเมื่อเส้นบนและเส้นล่างสลับลำดับกัน
พื้นที่ใต้กราฟ
$\int_a^b f(x)\,dx$
อินทิกรัลจำกัดขอบเขตคือพื้นที่ที่มีเครื่องหมายระหว่างเส้นโค้งและแกน
หาค่าของอินทิกรัลของ x² จาก 0 ถึง 3
[x³/3] จาก 0 ถึง 3 = 27/3 − 0 = 9
อินทิกรัลเป็นศูนย์ พื้นที่เป็นบวก สำหรับ $y=x$ จาก -1 ถึง 1, $I=[x^2/2]_{-1}^1=0$ พื้นที่ทางเรขาคณิตคือ $A=-\int_{-1}^0x\,dx+\int_0^1x\,dx=1$ แต่ละส่วนรูปสามเหลี่ยมมีพื้นที่ครึ่งหนึ่ง ผลรวมที่มีเครื่องหมายจะตัดกันหมด
แทนค่าทั้งฟังก์ชันและดิฟเฟอเรนเชียล
- การอินทิเกรตด้วยการแทนตัวแปร คือการย้อนกลับของกฎลูกโซ่ ด้วย $u=x^2+1$, $du=2x\,dx$ ดังนั้น $\int2x(x^2+1)^5dx=\int u^5du$
- สำหรับอินทิกรัลจำกัด ให้แปลงขอบเขตให้เป็น u หรือเปลี่ยนกลับเป็น x ก่อนคำนวณขอบเขตเดิม อย่าผสมสมการของ u กับขอบเขตของ x เข้าด้วยกัน
การแทนตัวแปร nàoทำให้การอินทิเกรตของ 2x(x² + 1)⁵ ง่ายขึ้น?
อนุพันธ์ของมันคือ 2x ซึ่งปรากฏอยู่แล้ว ดังนั้น du = 2x dx และการอินทิเกรตจะกลายเป็น u⁵ du
ดิฟฟองก์ชันต้นแบบเพื่อตรวจสอบ ตรวจสอบโดเมน ค่าคงที่ของการอินทิเกรต และขอบเขตด้วย การดิฟเพียงอย่างเดียวไม่พิสูจน์ว่าอินทิกรัลจำกัดหรือพื้นที่ทางเรขาคณิตคำนวณถูกต้องแล้ว แผ่นงาน 3.2 ใช้ความเร็วเพื่อแยกแยะการกระจัด ระยะทางรวม และตำแหน่งสุดท้าย
คุณตรวจสอบคำตอบการอินทิเกรตได้อย่าง可靠อย่างไร?
หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต้นแบบที่เสนอมาและเปรียบเทียบกับตัวถูกอินทิเกรตเดิมบนโดเมนของคุณ ยังต้องตรวจสอบค่าคงที่ ขอบเขต และเครื่องหมายหรือความหมายของพื้นที่ทางเรขาคณิต การหาอนุพันธ์เพียงอย่างเดียวไม่สามารถยืนยันขั้นตอนเหล่านี้ได้
ฟังก์ชันต้นแบบที่ใช้ได้ในช่วงหนึ่งไม่สามารถรับประกันการคำนวณข้ามจุด singularity ได้โดยอัตโนมัติ ตรวจสอบโดเมนของฟังก์ชันภายในอินทิกรัลก่อนใช้วิธีค่าบนลบด้วยค่าล่าง ต้องเพิ่มตำแหน่งเริ่มต้นเมื่ออินทิกรัลให้ผลเป็นการกระจัดเท่านั้น