IGCSE, A-Level & AP IGCSE, A-Level & AP Sheet preview · ⁨ตัวอย่างชุดข้อสอบ⁩

GAC016 Mathematics III: Calculus & Advanced Applications · ⁨GAC016 คณิตศาสตร์ III: แคลคูลัสและการประยุกต์ใช้ขั้นสูง⁩

GAC Mathematics · ⁨GAC คณิตศาสตร์⁩ · Topic 3 · ⁨หัวข้อ 3⁩

Train · ⁨ฝึกฝน⁩
3.1

What this module is, and how it is marked · ⁨บทนี้คืออะไร และมีวิธีการให้คะแนนอย่างไร⁩
English

An average speed does not tell you every instantaneous speed, and a signed displacement does not always equal total distance. Calculus makes those distinctions precise.

GAC016 develops differentiation 微分, integration 积分 and their applications. Your centre's current brief determines assessment tasks and grading requirements; these original practice sheets do not establish a university credit decision or an official examination pattern.

State the independent variable, domain and units. The notation $dy/dx$ is a derivative with respect to x; a dot over y normally denotes a derivative with respect to time. Those notations describe the same operation only when their independent variables agree.

For applications, describe what a rate or accumulated value means in the stated model. A negative volume-change rate of 3 cubic centimetres per second means volume is falling at that rate, rather than that the volume itself is negative.

ไทย

ความเร็วเฉลี่ยไม่ได้บอกความเร็วทันทีทุกจุด และการกระจัดที่มีเครื่องหมายไม่เสมอเท่ากับความยาวทางเดินทั้งหมด ค্যালคูลัสทำให้ความแตกต่างเหล่านี้ชัดเจน

GAC016 พัฒนาเรื่อง การหาอนุพันธ์, การหาอินทิกรัล และการประยุกต์ใช้它们的。กำหนดกรอบงานปัจจุบันของศูนย์คุณกำหนดภาระงานประเมินผลและเกณฑ์การให้คะแนน; แผ่นฝึกหัดต้นฉบับเหล่านี้ไม่ establishes การตัดสินใจให้หน่วยกิตจากมหาวิทยาลัยหรือรูปแบบข้อสอบที่เป็นทางการ

ระบุตัวแปรอิสระ, สเปค (domain) และหน่วยวัด. Notation $dy/dx$ คืออนุพันธ์เทียบกับ x; จุดเหนือ y โดยทั่วไปหมายถึงอนุพันธ์เทียบกับเวลา. Notations เหล่านี้อธิบาย operation เดียวกันก็ต่อเมื่อตัวแปรอิสระของพวกมันตรงกันเท่านั้น

สำหรับการประยุกต์ใช้ อธิบายว่าอัตราส่วนหรือค่าสะสมมีความหมายอย่างไรใน model ที่ระบุ. อัตราการเปลี่ยนแปลงปริมาตรเป็นลบที่ -3 ลูกบาศก์เซนติเมตรต่อวินาทีหมายความว่าปริมาตรลดลงด้วยอัตรานั้น ไม่ใช่ว่าปริมาตรนั้นเป็นลบเอง

3.1

Differentiation · ⁨การหาอนุพันธ์ (Differentiation)⁩
Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩
English

Unit 1 of 3 in GAC016 Mathematics III: Calculus & Advanced Applications (Level III). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

Module purpose: On completion of this module, students should be able to demonstrate a basic understanding of the principles of calculus and how they can be applied to the quantitative analysis of practical and financial situations.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC016.1: Determine the derivative (if it exists) of most mathematical functions and use the derivative to analyse functional behaviour.

ไทย

หน่วยที่ 1 จาก 3 หน่วยใน GAC016 คณิตศาสตร์ III: แคลคูลัสและแอปพลิเคชันขั้นสูง (ระดับ III) สาระเรียนนี้สอนเป็นเวลาประมาณ 40 ชั่วโมงในชั้นเรียน บวกกับ 20 ชั่วโมงการศึกษาค้นคว้าด้วยตนเอง และมีการประเมินผลที่ศูนย์การสอนโดยมี ACT เป็นผู้ออกแบบการประเมิน — ไม่มีข้อสอบภายนอก

วัตถุประสงค์ของสาระเรียน: เมื่อสำเร็จการเรียนสาระเรียนนี้แล้ว นักเรียนควรจะสามารถแสดงความเข้าใจเบื้องต้นเกี่ยวกับหลักการของแคลคูลัส以及如何นำไปใช้ในการวิเคราะห์สถานการณ์ด้านปริมาณทั้งในทางปฏิบัติและการเงินได้

ผลลัพธ์การเรียนรู้ submodule ที่หน่วยนี้มุ่งสู่:

เป้าหมายการเรียนรู้ GAC016.1: หาอนุพันธ์ (หากมีอยู่) ของฟังก์ชันคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ และใช้อนุพันธ์เพื่อวิเคราะห์พฤติกรรมของฟังก์ชัน

Source: Cambridge International syllabus · ⁨แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International⁩

English

A derivative 导数 is a rate of change: how fast $y$ changes as $x$ changes. Geometrically it is the gradient of the tangent 切线斜率 at a point.

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

That limit is the definition. Differentiation from first principles 从定义求导 uses the difference quotient for nonzero h and then takes its limit. Unequal one-sided limits, as for $|x|$ at zero, prevent a derivative even when the function is continuous.

  • The power rule 幂法则, on a domain where the power is differentiable: if $y = x^n$ then $\dfrac{dy}{dx} = nx^{\,n-1}$.
  • The product rule 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$.
  • The quotient rule 商法则, where $v\ne0$: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
  • The chain rule 链式法则: if $y = f(g(x))$ then $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
  • Stationary points 驻点 occur where $f'(x) = 0$. The second derivative 二阶导数 then classifies a stationary point when it is nonzero: negative gives a local maximum 极大值 and positive a local minimum 极小值. A zero second derivative is inconclusive; use derivative signs or other evidence. A stationary inflection can be neither an extremum.

Worked example. a tangent slope differs from a secant slope

Known: $f(x)=x^2$. The secant between x equal to 1 and 2 has slope 3, but the derivative at x equal to 1 is 2.

$$m_{sec}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{4-1}{2-1}=3$$
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$$
$$m_{tan}=f'(1)=2(1)=2$$

The average slope over a finite interval need not equal the instantaneous slope at either endpoint.

Use original practice sheet 3.1 to test the method, domain and interpretation against its solutions.

ไทย

อนุพันธ์ (Derivative) คืออัตราการเปลี่ยนแปลง: ว่า $y$ เปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหนเมื่อ $x$ เปลี่ยนแปลง ในทางเรขาคณิตมัน คือ ความชันของเส้นสัมผัส (Tangent) ที่จุดหนึ่ง

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Limit นี้คือนิยาม การหาอนุพันธ์จากหลักการพื้นฐาน (Differentiation from first principles) ใช้ Difference Quotient สำหรับ h ≠ 0 แล้วจึง取其 Limit. One-sided Limits ที่ไม่เท่ากัน เช่น สำหรับ $|x|$ ที่ศูนย์ ป้องกันการมีอนุพันธ์แม้ฟังก์ชันจะต่อเนื่องก็ตาม

  • กฎกำลัง (Power rule), บนสเปคที่กำลังสามารถหาอนุพันธ์ได้: ถ้า $y = x^n$ แล้ว $\dfrac{dy}{dx} = nx^{\,n-1}$
  • กฎผลคูณ (Product rule): $(uv)' = u'v + uv'$
  • กฎผลหาร (Quotient rule), เมื่อ $v\ne0$: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
  • กฎลูกโซ่ (Chain rule): ถ้า $y = f(g(x))$ แล้ว $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
  • จุดวิกฤต (Stationary points) เกิดขึ้นเมื่อ $f'(x) = 0$. อนุพันธ์อันดับสอง (Second derivative) จากนั้น จะจัดประเภทจุดวิกฤตเมื่อ它有 nonzero: ค่าติดลบให้ ค่าสูงสุดท้องถิ่น (Local maximum) และค่าบวกให้ ค่าต่ำสุดท้องถิ่น (Local minimum). อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์ไม่สามารถสรุปได้; ให้ใช้เครื่องหมายของอนุพันธ์หรือหลักฐานอื่น ๆ จุดกลับด้านแบบ stationary อาจไม่ใช่ทั้งค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดเลย

ตัวอย่างวิธีทำ (Worked example). ความชันของเส้นสัมผัสต่างจากความชันของเส้นตัด

เส้นโค้ง y เท่ากับ xกำลังสอง มีเส้นสัมผัสที่จุด (1,1) และมีเส้นตัดประเชื่อมระหว่างจุด (1,1) กับ (2,4).

已知: $f(x)=x^2$. เส้นตัดระหว่าง x เท่ากับ 1 และ 2 มีความชัน 3 แต่อนุพันธ์ที่ x เท่ากับ 1 มีค่าเท่ากับ 2

$$m_{sec}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{4-1}{2-1}=3$$
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$$
$$m_{tan}=f'(1)=2(1)=2$$

ความชันเฉลี่ยในช่วงจำกัดอาจไม่เท่ากับความชันทันทีที่ปลายช่วงใด ๆ

ใช้แผ่นฝึกหัดต้นฉบับ 3.1 เพื่อทดสอบวิธีการ สเปค และการตีความ เทียบกับคำตอบของมัน

Vocabulary · ⁨คำศัพท์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩
English ไทย
differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ การหาอนุพันธ์
derivative/dɪˈrɪvətɪv/ อนุพันธ์เชิงซ้อน (ดีริวทีฟ)
gradient of the tangent/ˈɡreɪdɪənt ɒvðə ˈtændʒənt/ ความชันของเส้นสัมผัส
differentiation from first principles/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn frɒm fɜːst ˈprɪnsɪplz/ การหาอนุพันธ์จากนิยามพื้นฐาน
power rule/ˈpaʊə ruːl/ กฎกำลัง (Power Rule)
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ กฎผลคูณ
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ กฎผลหาร
chain rule/tʃeɪn ruːl/ กฎโซ่ (Chain Rule)
Stationary points/ˈsteɪʃənəri pɔɪnts/ จุดคงที่
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ อนุพันธ์อันดับสอง
maximum/ˈmæksɪməm/ สูงสุด
minimum/ˈmɪnɪməm/ ต่ำสุด
3.2

Integration · ⁨การหาอินทิกรัล (Integration)⁩
Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩
English

Unit 2 of 3 in GAC016 Mathematics III: Calculus & Advanced Applications (Level III). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC016.2: Use techniques of integration to find indefinite and definite integrals.

ไทย

หน่วยที่ 2 จาก 3 หน่วยใน GAC016 คณิตศาสตร์ III: แคลคูลัสและแอปพลิเคชันขั้นสูง (ระดับ III) สาระเรียนนี้สอนเป็นเวลาประมาณ 40 ชั่วโมงในชั้นเรียน บวกกับ 20 ชั่วโมงการศึกษาค้นคว้าด้วยตนเอง และมีการประเมินผลที่ศูนย์การสอนโดยมี ACT เป็นผู้ออกแบบการประเมิน — ไม่มีข้อสอบภายนอก

ผลลัพธ์การเรียนรู้ submodule ที่หน่วยนี้มุ่งสู่:

เป้าหมายการเรียนรู้ GAC016.2: ใช้เทคนิคการหาอินทิกรัลเพื่อหาค่าอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนและอินทิกรัลจำกัดจำนวน

Source: Cambridge International syllabus · ⁨แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International⁩

English

Indefinite integration finds antiderivatives. Definite integration measures signed accumulation, which can differ from geometric area. For a continuous integrand, the fundamental theorem of calculus 微积分基本定理 connects a definite integral to the difference of antiderivative values at its limits.

  • An indefinite integral 不定积分 has no limits and needs the constant of integration 积分常数: $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + c$ for $n \neq -1$.
  • A definite integral 定积分 has limits and gives a number: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
  • Integration by substitution 换元积分法 reverses the chain rule.
  • ⚠ Forgetting $+c$ on an indefinite integral is the single most frequent lost mark in the module, and it is lost on questions you have otherwise answered correctly.

Worked example. negative and positive areas can cancel

Known: $f(x)=x$ from negative 1 to 1. Its definite integral is zero because the negative and positive contributions cancel.

$$I=\int_{-1}^{1}x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1}=\frac12-\frac12=0$$

Geometric area instead adds the magnitudes of the two triangular regions.

$$A=-\int_{-1}^{0}x\,dx+\int_0^1x\,dx=\frac12+\frac12=1$$

Use original practice sheet 3.2 to test the method, domain and interpretation against its solutions.

ไทย

การหาอินทิกรัลไม่จำกัดขอบเขต (Indefinite integration) หา antiderivatives การหาอินทิกรัลจำกัดขอบเขต (Definite integration) วัดการสะสมที่มีเครื่องหมาย ซึ่งอาจแตกต่างจากพื้นที่เรขาคณิต สำหรับ integrand ที่ต่อเนื่อง ทฤษฎีบทหลักของแคลคูลัส (Fundamental theorem of calculus) เชื่อมโยง definite integral กับผลต่างของค่า antiderivative ที่ขอบเขตของมัน

  • อินทิกรัลไม่จำกัดขอบเขต (Indefinite integral) ไม่มีขอบเขตและต้องการ ค่าคงที่ของการอินทิเกรต (Constant of integration) : $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + c$ สำหรับ $n \neq -1$
  • อินทิกรัลจำกัดขอบเขต (Definite integral) มีขอบเขตและให้ตัวเลข: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
  • การอินทิเกรตด้วยการแทนที่ (Integration by substitution) เป็นกระบวนการย้อนกลับของกฎลูกโซ่
  • ⚠ การลืม $+c$ ในอินทิกรัลไม่จำกัดขอบเขตเป็นสาเหตุที่พบบ่อยที่สุดในการสูญเสียคะแนนใน module, และมันถูกตัดออกในคำถามที่คุณตอบถูกแล้วในกรณีอื่น

ตัวอย่างวิธีทำ (Worked example). พื้นที่ลบและบวกสามารถหักล้างกันได้

เส้นตรง y เท่ากับ x ตัดแกนที่ศูนย์ โดยมีพื้นที่แรเงาทั้งสองข้างในช่วง -1 ถึง 1.

已知: $f(x)=x$ จาก -1 ถึง 1. Its definite integral เป็นศูนย์เพราะการมีส่วนร่วมของลบและบวกหักล้างกัน

$$I=\int_{-1}^{1}x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1}=\frac12-\frac12=0$$

พื้นที่เรขาคณิตแทนที่จะบวกขนาดของพื้นที่สามเหลี่ยมทั้งสองเข้าด้วยกัน

$$A=-\int_{-1}^{0}x\,dx+\int_0^1x\,dx=\frac12+\frac12=1$$

ใช้แผ่นฝึกหัดต้นฉบับ 3.2 เพื่อทดสอบวิธีการ สเปค และการตีความ เทียบกับคำตอบของมัน

Vocabulary · ⁨คำศัพท์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩
English ไทย
integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ integration
fundamental theorem of calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ ทฤษฎีบทหลักของแคลคูลัส
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ อินทิกรัลไม่จำกัด
constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ ค่าคงที่ของการอินทิเกรต
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ อินทิกรัล_examples
Integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ การอินทิเกรตด้วยการแทนที่
3.3

Advanced applications · ⁨การประยุกต์ใช้ขั้นสูง⁩
Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩
English

Unit 3 of 3 in GAC016 Mathematics III: Calculus & Advanced Applications (Level III). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC016.3: Apply differentiation and integration techniques in a variety of practical problems.

ไทย

หน่วยที่ 3 จาก 3 หน่วยใน GAC016 คณิตศาสตร์ III: แคลคูลัสและแอปพลิเคชันขั้นสูง (ระดับ III) สาระเรียนนี้สอนเป็นเวลาประมาณ 40 ชั่วโมงในชั้นเรียน บวกกับ 20 ชั่วโมงการศึกษาค้นคว้าด้วยตนเอง และมีการประเมินผลที่ศูนย์การสอนโดยมี ACT เป็นผู้ออกแบบการประเมิน — ไม่มีข้อสอบภายนอก

ผลลัพธ์การเรียนรู้ submodule ที่หน่วยนี้มุ่งสู่:

เป้าหมายการเรียนรู้ GAC016.3: นำเทคนิคการหาอนุพันธ์และการหาอินทิกรัลไปประยุกต์ใช้กับปัญหาเชิงปฏิบัติหลากหลายรูปแบบ

Source: Cambridge International syllabus · ⁨แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International⁩

English
  • Optimisation 最优化 finds the largest or smallest value of a quantity: write the quantity as a function of one variable on a stated feasible domain, differentiate, find candidates and justify the required optimum. Check included boundaries and integer constraints where relevant.
  • Rates of change 变化率 chain together: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt}$.
  • Area between two curves 两曲线间面积 is $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ where $f$ is the upper curve on that whole interval. Split at crossings if their order changes.
  • Marginal cost and revenue 边际成本与边际收益 are derivatives of stated continuous cost and revenue models. They are instantaneous rates, not automatically exact discrete-unit changes.

Worked example. a fixed perimeter leaves one area variable

Known: a rectangle has perimeter 20, so length plus width is 10. Let width be x; length is $10-x$ and $0.

$$A(x)=x(10-x)$$
$$A'(x)=10-2x$$

The stationary candidate is $x=5$. Since $A''(x)=-2<0$ and the area approaches zero at both domain ends, this candidate is the global maximum. It is a 5 by 5 square with area 25.

Use original practice sheet 3.3 to test the method, domain and interpretation against its solutions.

ไทย
  • การหาค่าที่เหมาะสมที่สุด (Optimisation) หาค่ามากหรือน้อยที่สุดของปริมาณ: เขียนปริมาณนั้น เป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียวบน feasible domain ที่ระบุ ทำ differentiation, หา candidates และ justify การหาค่าที่เหมาะสมที่สุดที่ต้องการ ตรวจสอบขอบเขตที่รวมอยู่และข้อจำกัดจำนวนเต็มเมื่อเกี่ยวข้อง
  • อัตราการเปลี่ยนแปลง (Rates of change) เชื่อมต่อกัน: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt}$
  • พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น (Area between two curves) คือ $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ เมื่อ $f$ เป็นเส้นโค้งด้านบนตลอดทั้ง interval นั้น แยกที่จุดตัดหากลำดับเปลี่ยนไป
  • ต้นทุนและรายได้ส่วนเพิ่ม (Marginal cost and revenue) คืออนุพันธ์ของ models ต้นทุนและรายได้อัตนंततःที่ต่อเนื่อง They are instantaneous rates, not automatically exact discrete-unit changes

**ตัวอย่างวิธีทำ (Worked example).**周长คงที่ทำให้มีพื้นที่ตัวแปรหนึ่ง

สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความกว้าง x และความยาว 10 ลบ x ภายใต้ perimeter คงที่ 20 หน่วย.

已知: สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี perimeter 20 ดังนั้น ความยาวบวกความกว้างเท่ากับ 10 ให้ความกว้างเป็น x; ความยาวคือ $10-x$ และ $0

$$A(x)=x(10-x)$$
$$A'(x)=10-2x$$

Candidate ที่ stationary คือ $x=5$. เนื่องจาก $A''(x)=-2<0$ และพื้นที่เข้าใกล้ศูนย์ที่ขอบเขตทั้งสองของ domain, candidate นี้คือค่าสูงสุดระดับโลก (Global maximum). มันคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 5x5 ที่มีพื้นที่ 25

ใช้แผ่นฝึกหัดต้นฉบับ 3.3 เพื่อทดสอบวิธีการ สเปค และการตีความ เทียบกับคำตอบของมัน

Vocabulary · ⁨คำศัพท์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩
English ไทย
Optimisation/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ Optimisation
Rates of change/reɪts ɒv tʃeɪndʒ/ อัตราการเปลี่ยนแปลง
Area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ พื้นที่ระหว่างกราฟสองเส้น
Marginal cost and revenue/ˈmɑːdʒɪnl kɒst ænd ˈrevənjuː/ ต้นทุนส่วนเพิ่มและรายได้ส่วนเพิ่ม

Interactive lessons on this topic · ⁨บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที⁩

More topics in GAC Mathematics · ⁨GAC คณิตศาสตร์⁩ · ⁨หัวข้อเพิ่มเติมใน GAC Mathematics · ⁨GAC คณิตศาสตร์⁩⁩

Log in or create account · ⁨เข้าสู่ระบบหรือสร้างบัญชี⁩

IGCSE, A-Level & AP