สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันเสริม |
ทำไมเราต้องกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นสองค่า?
- โมเดลการกระจัด包含了ทั้งความเร็วและความเร่ง การแก้สมการอนุพันธ์อันดับหนึ่งเพียงอย่างเดียวไม่สามารถรองรับเงื่อนไขเริ่มต้นทั้งสองได้
- บทเรียนนี้ศึกษา ฟังก์ชันเสริม (complementary function): ซึ่งเป็นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบโฮโมเจนีนัสที่เกี่ยวข้อง
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับ y''+ay'+by=f(x) ให้แก้สมการกำลังสองช่วยสำหรับส่วนโฮโมเจนีนัส แล้วเพิ่มอินทิกรัลเฉพาะที่เหมาะสมสำหรับพจน์กระตุ้น รากซ้ำและรากเชิงซ้อนต้องการรูปแบบที่ถูกต้อง
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ทำไมสมการอันดับสองจึงต้องการเงื่อนไข TWO เพื่อกำหนดคำตอบ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันเสริม y=Ae^x+Be^(2x) มีค่าคงที่สุ่มสองค่า เงื่อนไขแต่ละอย่างให้สมการเชิงเส้นหนึ่งตัวใน A และ B; เพียงสองเงื่อนไขที่เป็นอิสระจะกำหนดทั้งสองค่าได้
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ y''-3y'+2y=0 สมการช่วยคือ m²-3m+2=0 ซึ่งมีราก 1,2 ดังนั้น y=Ae^x+Be^(2x) เมื่อ y(0)=1 และ y'(0)=0 จะได้ A+B=1 และ A+2B=0 ดังนั้น A=2, B=-1
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง
สำหรับ y''+ay'+by=f(x) แก้สมการกำลังสองช่วยสำหรับส่วนที่เป็นเอกพันธุ์
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
สำหรับ A+B=1 และ A+2B=0 จงหา A
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
นำ A+B=1 หักออก จาก A+2B=0: B=-1 ดังนั้น A=2
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- ค่าคงที่สุ่มสองค่าต้องใช้เงื่อนไขอิสระสองค่า หาก инทิกรัลเฉพาะทดลองซ้ำกับพจน์ในฟังก์ชันเสริม ให้คูณด้วย x ตามความจำเป็น อย่าทิ้งคำตอบการสั่นสะเทือนที่มีอยู่จริงเพราะรากของสมการช่วยเป็นเชิงซ้อน
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
ค่าเริ่มต้นเพียงค่าเดียวเพียงพอในการหาค่าคงที่ทั้งสองในคำตอบทั่วไปของสมการอันดับสอง ข้อความนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าขัดต่อนิยามหรือสมมติฐานใด
ภายใต้เงื่อนไขเหล่านั้น จงหา B
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
นำสมการแรกหักออกจากสมการที่สองจะได้ B=-1
ค่าเริ่มต้นเพียงค่าเดียวก็เพียงพอที่จะกำหนดค่าคงตัวทั้งสองในคำตอบทั่วไปของสมการอันดับสอง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่าคงตัวสุ่มสองค่าต้องการเงื่อนไขอิสระสองอย่าง หากคำตอบเฉพาะที่ลองใช้ ซ้ำกับพจน์ของฟังก์ชันเสริม ให้คูณคำตอบนั้นด้วย x ตามความจำเป็น อย่าทิ้งคำตอบการสั่นที่ถูกต้องเพราะรากช่วยเป็นจำนวนเชิงซ้อน
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ดิฟฟอเรนเชียลหาผลลัพธ์สุดท้ายแล้วแทนค่าลงในสมการเชิงอนุพันธ์เดิม ตรวจสอบเงื่อนไขเริ่มต้นทั้งสองแยกกัน และตีความช่วงคำตอบที่ยอมรับได้
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
หาคำรากของ m²-3m+2=0 ที่มีค่ามากกว่า
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แยกตัวประกอบ m²-3m+2=(m-1)(m-2); คำรากที่มีค่ามากกว่าคือ 2
จับคู่แต่ละส่วนของสมการ y″-3y′+2y=f(x) กับบทบาทของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
คำตอบทั่วไปคือฟังก์ชันเสริมบวกด้วยอินทิกรัลเฉพาะ; รากช่วยกำหนดรูปแบบ โดยมีกรณีพิเศษสำหรับรากซ้ำหรือรากเชิงซ้อน
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- edexcel IAL Further Mathematics; หน่วย FP2 อย่างเป็นทางการ การเสริมเนื้อหาจากหน่วยอื่นระบุไว้ในขอบเขตการทบทวน; ไม่ใช่ข้อกำหนดในการชำระเงินเพิ่มเติม
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบโฮโมเจนีนัสที่เกี่ยวข้อง เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีทำ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์