จุดเหล่านี้สอดคล้องกันหรือไม่?

คำศัพท์

English	ความหมาย
least-squares regression/liːst skweəz rɪˈɡreʃn/	การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด

ความชันก็แกว่งตัวด้วย

ใน Unit 2 เรา fit เส้น least-squares และอ่านค่า slope $b$
แต่ $b$ มาจาก ตัวอย่าง — ตัวอย่างที่ต่างกันให้ slope ที่แตกต่างเล็กน้อย
ดังนั้น slope เปลี่ยนแปลงจากตัวอย่างไปยังตัวอย่าง เหมือนกับ $\bar{x}$ หรือ $\hat{p}$
Unit 9 ทำ inference เกี่ยวกับ true slope $\beta$ ที่อยู่เบื้องหลังข้อมูล

การแจกแจงของ b

เก็บ slope $b$ จากทุกตัวอย่างที่เป็นไปได้ → sampling distribution ของมัน
มันมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ true population slope $\beta$ (ดังนั้น $b$ เป็น unbiased สำหรับ $\beta$)
การกระจายของมันคือ standard error of the slope, $SE_b$
ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม การแจกแจงนี้ถูกจำลองด้วย $t$-distribution

Inference เกี่ยวกับความสัมพันธ์

Inference สำหรับ slopes ถามว่า: มีความสัมพันธ์เชิงเส้นจริงหรือไม่ และแข็งแกร่งแค่ไหน?
True slope $\beta$ ไม่ทราบ; $b$ ประมาณ它以ด้วย ความไม่แน่นอน
Confidence interval ให้ช่วงสำหรับ $\beta$; การทดสอบตัดสินว่า $\beta = 0$
ทั้งสองวัดระดับความมั่นใจที่เรามีเกี่ยวกับเส้นเบื้องหลัง scatter

สร้างบนพื้นฐาน Unit 2

ทุกอย่างตั้งอยู่บนโมเดล least-squares regression $\hat{y} = a + bx$
$b$ ยังคงเป็นการเปลี่ยนแปลงที่คาดการณ์ไว้ใน $y$ ต่อหน่วย $x$ — ตอนนี้พร้อม error bars
เราเพิ่ม $t$-based interval และการทดสอบรอบๆ slope นั้น
Regression inference คือ "slope ของ Unit 2, บวกกับ $t$-machinery ของ Unit 7"

Watch out

The slope $b$ จากตัวอย่างหนึ่งเป็นการประมาณ ไม่ใช่ความจริง $\beta$. ตัวอย่างสุ่มที่ต่างกันจะให้ $b$ ที่ต่างกัน Inference สำหรับ slopes มี ตรรกะ เดียวกันกับ means — $t$-based interval และการทดสอบรอบๆ sample statistic — ถูกนำไปใช้กับ regression slope พร้อม standard error เฉพาะตัว $SE_b$

Example

Fit ชั่วโมงศึกษา vs. คะแนนสำหรับชั้นเรียนหนึ่งให้ slope $b = 4.2$

Class ที่ต่างกันจะให้ $b$ ที่ต่างกัน (อาจจะเป็น $3.8$ หรือ $4.6$) — sampling variability
True slope $\beta$ สำหรับนักเรียนทุกคนไม่ทราบ; $b = 4.2$ ประมาณ它以
Unit 9 สร้าง interval และการทดสอบสำหรับ $\beta$ ที่ไม่รู้นั้น

Key idea

ความชัน $b$ ของเส้นที่ปรับให้เข้ากับข้อมูลจะเปลี่ยนแปลงไปจากตัวอย่างหนึ่งไปยังอีกตัวอย่างหนึ่ง; การแจกแจงตัวอย่าง ของมันมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ความชันจริง $\beta$ โดยมีค่ากระจายตัว $SE_b$ และถูกจำลองด้วย การแจกแจง $t$ การอนุมานเกี่ยวกับความชันเป็นการวัดระดับ ความไม่แน่นอน เกี่ยวกับความสัมพันธ์เชิงเส้นที่แท้จริง โดยสร้างโดยตรงจากโมเดล การถดถอยกำลังน้อยที่สุด

สำรวจ