การแจกแจงตัวอย่างของ x-bar
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| sample mean/ˈsæmpl miːn/ | ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน |
การแจกแจงของ x-bar
- sample mean $\bar{x}$ เป็นตัวประมาณค่า true population mean $\mu$
- การแจกแจงการสุ่มตัวอย่างของมัน ตั้งอยู่ที่ $\mu$: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (ดังนั้น $\bar{x}$ จึงเป็น ไม่เอียง)
- ตัวอย่างแต่ละชิ้นให้ค่า $\bar{x}$ ที่ต่างกัน; ความกระจายจะเล็กลงเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น
- นี่คือสถิติหลักสำหรับการทำ inference เกี่ยวกับ means
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ $\bar{x}$ คือ:
-
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรหารด้วย $\sqrt{n}$ — มักเรียกว่า ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน
- เพิ่ม $n$ ขึ้นสี่เท่า ความกระจายจะลดลงเพียงครึ่งเดียว (เพราะรากที่สอง)
Normality ผ่าน CLT
- $\bar{x}$ เป็น normal หรือไม่? มีวิธีอธิบายสองแบบ:
- หาก population เป็น normal, $\bar{x}$ จะเป็น normal พอดีสำหรับทุก $n$
- มิฉะนั้น Central Limit Theorem จะให้ความใกล้เคียงความเป็น normal เมื่อ $n \ge 30$
- ต้องระบุเสมอว่า ปัญหาของคุณพึ่งพา วิธีอธิบายแบบไหน
เงื่อนไขและความน่าจะเป็น
- ตรวจสอบเงื่อนไข 10% ($n \le 0.10N$) เมื่อสุ่มโดยไม่ใส่กลับ
- เมื่อ justified normality แล้ว มาตรฐาน: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$
- จากนั้นหา probabilities สำหรับ $\bar{x}$ จาก standard normal
- คำตอบนี้คือ "sample mean ที่ไกลจาก $\mu$ เท่านี้มีความเป็นไปได้เท่าไหร่?"
ใช้ $\sigma/\sqrt{n}$, ไม่ใช่ $\sigma$, สำหรับ spread ของ $\bar{x}$ — sample mean เปลี่ยนแปลงน้อยกว่าข้อมูลรายบุคคลมาก ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือการหารด้วย $n$ แทนที่จะเป็น $\sqrt{n}$ และ justify normality อย่างชัดเจน: eventually pop. normal หรือ CLT กับ $n$ ขนาดใหญ่ — อย่าสมมติว่า $\bar{x}$ เป็น normal สำหรับตัวอย่างขนาดเล็กจาก pop. ที่เบ้
Population mean $\mu = 100$, SD $\sigma = 20$;取了 $n = 25$
- จุดศูนย์กลาง: $\mu_{\bar{x}} = 100$. SD: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{20}{\sqrt{25}} = \dfrac{20}{5} = 4$
- $P(\bar{x} > 108)$: $z = \dfrac{108 - 100}{4} = 2$ → ประมาณ $2.5\%$
- ดังนั้น sample mean ที่สูงกว่า $108$ ค่อนข้าง unlikely
sample mean $\bar{x}$ มี $\mu_{\bar{x}} = \mu$ และ $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ Justify normal model โดย pop. normal หรือโดย Central Limit Theorem ($n\ge 30$); ตรวจสอบเงื่อนไข 10% เมื่อสุ่มโดยไม่ใส่กลับ แล้วหา probabilities ผ่าน $z = \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$
การแจกแจงตัวอย่างของ x-bar
มีจุดศูนย์กลางที่ μ, การกระจาย σ/√n (ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)
Population σ = 20, n = 25. หา SD ของ x-bar, σ/√n
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
20/√25 = 20/5 = 4.
โดยที่ μ=100 และ SD ของ x-bar = 4, หาค่า z-score ของ x-bar = 108
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
z = (108 − 100)/4 = 2.
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หาร σ ด้วย √n — ไม่ใช่ด้วย n
หากประชากรเป็นปกติอยู่แล้ว x-bar จะเป็นปกติสำหรับทุกขนาดตัวอย่าง n
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ประชากรที่เป็นปกติให้ x-bar ที่เป็นปกติอย่างสมบูรณ์ที่ทุก n
เพื่อให้การแจกแจงตัวอย่างของ x-bar มีการกระจายครึ่งหนึ่ง คุณควร...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การกระจาย ∝ 1/√n ดังนั้น 4× n ลด SD ลงครึ่งหนึ่ง