การแจกแจงตัวอย่างของ p-hat
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| sample proportion/ˈsæmpl prəˈpɔːʃn/ | สัดส่วนจากตัวอย่าง |
| large counts condition/lɑːdʒ kaʊnts kənˈdɪʃn/ | เงื่อนไขจำนวนมาก |
| 10% condition/ten pəˈsent kənˈdɪʃn/ | 10% condition |
การแจกแจงของ p-hat
- สัดส่วนตัวอย่าง $\hat{p}$ ประมาณค่าสัดส่วนประชากรจริง $p$
- การแจกแจงการสุ่มตัวอย่างของมัน ตั้งอยู่ที่ $p$: $\mu_{\hat{p}} = p$ (ดังนั้น $\hat{p}$ จึงเป็น ไม่เอียง)
- ตัวอย่างที่แตกต่างกันให้ค่า $\hat{p}$ ที่แตกต่างกัน — ระยะกระจายคือสิ่งที่เราจะวัดผลถัดไป
- ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม การแจกแจงนี้จะเป็นการประมาณ ปกติ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของมัน
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ $\hat{p}$ คือ:
-
$$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$
- $n$ ที่ใหญ่ขึ้น → ระยะกระจายเล็กลง → การประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้น (ส่วน $\sqrt{n}$ ในด้านล่าง)
- สิ่งนี้วัดระยะทางโดยทั่วไปของ $\hat{p}$ จาก $p$ จริง
เงื่อนไขจำนวนมาก
- เพื่อใช้ โมเดลปกติ สำหรับ $\hat{p}$, ตรวจสอบ เงื่อนไขจำนวนมาก:
-
$$np \ge 10 \quad\text{and}\quad n(1-p) \ge 10$$
- ในคำพูด: คาดหวังอย่างน้อย $10$ ความสำเร็จ และ อย่างน้อย $10$ ความล้มเหลว
- หากจำนวนใดจำนวนหนึ่งต่ำกว่า $10$, การแจกแจงการสุ่มตัวอย่างจะเบี่ยงไปทาง太多สำหรับโมเดลปกติ
เงื่อนไข 10%
- เมื่อสุ่ม โดยไม่แทนที่, ตรวจสอบ เงื่อนไข 10% 10%
- ตัวอย่างต้อง ไม่เกิน $10\%$ ของประชากร: $n \le 0.10 N$
- สิ่งนี้ช่วยให้การทดลอง "ใกล้เคียงพอ" กับความเป็นอิสระเพื่อให้สูตร SD ใช้ได้
- ส่วนย่อยเล็กๆ ของประชากรใหญ่แทบไม่เปลี่ยนเมื่อเราดึงออก
เงื่อนไขสองแบบทำหน้าที่ต่างกัน เงื่อนไขจำนวนมาก ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$) รองรับ รูปร่างปกติ; เงื่อนไข 10% ($n\le0.10N$) รองรับ ความเป็นอิสระ ที่อยู่เบื้องหลังสูตร SD ตรวจสอบ ทั้งสอง ก่อนสร้างโมเดล $\hat{p}$ เป็นปกติ — การข้ามอย่างใดอย่างหนึ่งจะทำให้การอนุมานต่อไปไม่ถูกต้อง
$p = 0.4$ ของประชากรสนับสนุนแผน; คุณสุ่ม $n = 100$
- จุดศูนย์กลาง: $\mu_{\hat{p}} = 0.4$. SD: $\sqrt{\dfrac{0.4 \times 0.6}{100}} = \sqrt{0.0024} \approx 0.049$
- จำนวนมาก: $np = 40 \ge 10$ และ $n(1-p) = 60 \ge 10$. ✓ ปกติใช้ได้
- 10%: ดีถ้าประชากรเกิน $1000$
สัดส่วนตัวอย่าง $\hat{p}$ มี $\mu_{\hat{p}} = p$ และ $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. สร้างโมเดล它为 normal เมื่อ large counts condition ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$)Hold; เมื่อสุ่มโดยไม่แทนที่, ตรวจสอบ 10% condition ($n \le 0.10N$)
การแจกแจงตัวอย่างของ p-hat
มีจุดศูนย์กลางที่ p, การกระจาย √(p(1−p)/n); เป็นปกติภายใต้เงื่อนไขจำนวนที่มาก
p = 0.4, n = 100. หา σ ของ p-hat = √(p(1−p)/n). ปัดเศษทศนิยมสองตำแหน่ง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(0.4·0.6/100) = √0.0024 ≈ 0.049 ≈ 0.05.
เงื่อนไขจำนวนที่มากสำหรับการใช้โมเดลปกติของ p-hat ต้องการ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อย่างน้อย 10 ความสำเร็จที่คาดหวัง AND 10 ความล้มเหลวที่คาดหวัง
ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงตัวอย่างของ p-hat เท่ากับอัตราส่วนจริง p
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
μ(p-hat) = p, ดังนั้น p-hat ไม่มีอคติ
เมื่อสุ่มโดยไม่แทนที่ เงื่อนไข 10% ต้องการ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตัวอย่างต้องไม่เกิน 10% ของประชากร
การเพิ่ม n ทำให้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ p-hat เล็กลง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n อยู่ใต้รากที่สอง ดังนั้น n ที่มากขึ้น → การกระจายที่น้อยลง