การประมาณที่เบ้และไม่เบ้

คำศัพท์

English	ความหมาย
point estimate/pɔɪnt ˈestɪmət/	ค่าประมาณจุด
unbiased/ʌnˈbaɪəst/	ไม่เบี่ยงเบน

การคาดเดาพารามิเตอร์

ค่าประมาณจุด คือ ตัวเลขเดียว จากตัวอย่างที่ใช้เพื่อประมาณค่าพารามิเตอร์
$\bar{x}$ ประมาณค่า $\mu$; $\hat{p}$ ประมาณค่า $p$; $s$ ประมาณค่า $\sigma$
มันคือการคาดเดาจุดเดียวที่ดีที่สุดของเรา — แต่มันเป็นเพียงค่าหนึ่งจากสถิติที่มีความแปรปรวน
คุณภาพของตัวประมาณขึ้นอยู่กับว่ามัน ตั้งอยู่ตรงไหน และ มีการเปลี่ยนแปลงเท่าไหร่

ความหมายของ "ไม่เอียง"

ตัวประมาณจะ ไม่เอียง หากการแจกแจงของการสุ่มตัวอย่างของมัน ตั้งอยู่บนพารามิเตอร์จริง
"ตั้งอยู่บน" หมายถึง ค่าเฉลี่ย ของตัวประมาณเท่ากับพารามิเตอร์
โดยเฉลี่ยแล้ว ในหลายตัวอย่าง ตัวประมาณที่ไม่เอียงจะเข้าเป้า
$\bar{x}$ และ $\hat{p}$ เป็นตัวประมาณที่ไม่เอียงของ $\mu$ และ $p$

จุดศูนย์กลาง = ความเอียง

ความเอียง เกี่ยวข้องกับ จุดศูนย์กลาง ของการแจกแจงของการสุ่มตัวอย่าง ไม่ใช่การประมาณค่าใดค่าหนึ่ง
หากค่าเฉลี่ยของตัวประมาณอยู่ที่ ต่างจาก พารามิเตอร์ มันจะเป็น เอียง — สูงหรือต่ำ systematically
ตัวประมาณที่ไม่เอียงอาจพลาดไปในแต่ละตัวอย่าง (นั่นคือความแปรปรวน ไม่ใช่ความเอียง)
เป้าหมายแรกคือการหาตัวประมาณที่ตั้งอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้อง

ความแปรปรวนลดลงตาม n

ความแปรปรวน ของตัวประมาณ (how much it bounces around) ลดลงเมื่อ $n$ เพิ่มขึ้น
ตัวอย่างที่ใหญ่ขึ้น → การแจกแจงของการสุ่มตัวอย่างแคบลง → การประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้น
ความเอียงและความแปรปรวนเป็นเป้าหมายแยกกัน: เข้าถึงจุดศูนย์กลาง, และ รักษาระยะกระจายไว้ให้เล็ก
ตัวประมาณในอุดมคติคือ ไม่เอียงและมีค่าความแปรปรวนต่ำ

Watch out

ความเอียงและความแปรปรวนเป็นเรื่องต่างกัน ความเอียง เกี่ยวกับ จุดศูนย์กลาง ของการแจกแจงของการสุ่มตัวอย่าง (เข้าเป้าหรือไม่?); ความแปรปรวน เกี่ยวกับ ระยะกระจาย (การประมาณค่ากระโดดแค่ไหน?) ขนาดตัวอย่างที่ใหญ่ขึ้นลด ความแปรปรวน แต่ ไม่ แก้ไข ความเอียง — วิธีที่เอียงจะยังคงห่างจากจุดศูนย์กลางในทุก $n$ (สะท้อนเนื้อหาหน่วยที่ 3)

Example

การประมาณค่าเฉลี่ยประชากร $\mu = 100$

$\bar{x}$ เป็น ไม่เอียง: ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงการสุ่มตัวอย่างของมันเท่ากับ $100$ อย่างแท้จริง
ด้วย $n = 25$ การประมาณจะกระจายกว้าง; ด้วย $n = 400$ จะรวมตัวแน่นรอบ $100$
จุดศูนย์กลางเดียวกัน (ไม่เอียง), ความแปรปรวน เล็กลง — การประมาณที่ดีกว่า

Key idea

ค่าประมาณจุด คือการคาดเดาด้วยตัวเลขเดียวของพารามิเตอร์ (เช่น $\bar{x}$ สำหรับ $\mu$) ตัวประมาณจะเป็น ไม่เอียง เมื่อ จุดศูนย์กลาง ของการแจกแจงการสุ่มตัวอย่างของมันเท่ากับพารามิเตอร์ ความเอียง เกี่ยวข้องกับจุดศูนย์กลางนั้น; ความแปรปรวน เกี่ยวข้องกับระยะกระจายและ ลดลงเมื่อ $n$ เติบโตขึ้น — แต่ตัวอย่างที่ใหญ่ขึ้นnever removes bias.

สำรวจ