สถิติสรุปสำหรับตัวแปรเชิงปริมาณ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| mean/miːn/ | ค่าเฉลี่ย |
| median/ˈmiːdiːən/ | มัธยฐาน |
| Range/reɪndʒ/ | ช่วง |
| Standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ | ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน |
| resistant/rɪˈzɪstənt/ | ทนทาน |
ตัวเลขที่สรุปข้อมูล
- กราฟแสดงรูปร่าง; สถิติสรุป (Summary statistics) รวบรัดการกระจายตัวลงเหลือเพียงไม่กี่ตัวเลขสำคัญ
- หน้าที่หลักสองอย่าง: วัด ค่ากึ่งกลาง (ค่าที่เป็นตัวแทน) และ การกระจาย (ความแปรปรวน)
- ตัวเลขที่ใช้ขึ้นอยู่กับรูปร่าง โดยเฉพาะว่ามีค่าผิดปกติหรือไม่
- สรุปเหล่านี้คือกระดูกสันหลังของการอนุมานในขั้นตอนต่อไป
ตัวชี้วัดค่ากึ่งกลาง
- ค่าเฉลี่ย (Mean) $\bar{x}$ คือผลบวกทางคณิตศาสตร์: บวกทุกค่า แล้วหารด้วยจำนวน
- ค่ามัธยฐาน (Median) คือค่า ตรงกลาง เมื่อเรียงลำดับข้อมูล (หาเฉลี่ยของสองค่าตรงกลางถ้ามีจำนวนคู่)
- สำหรับ การกระจายตัวสมมาตร ทั้งสองค่าจะใกล้เคียงกัน;但对于 การเบี่ยงเบน ทั้งสองค่าจะต่างกัน
- ค่าเฉลี่ยจะถูกดึงไปทางหางยาว; ค่ามัธยฐานจะคงที่
จุดกึ่งกลางและการกระจายของข้อมูล
mean และ median แสดงจุดกึ่งกลาง; range, IQR, และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานวัดการกระจาย
หาค่ามัธยฐานของ $4, 5, 6, 7, 100$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ค่าตรงกลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้วคือ $6$
ใน $4,5,6,7,100$, mean ($24.4$) ถูกดึงขึ้นไปโดยค่า $100$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
mean อ่อนไหวต่อค่าสุดขั้ว
ตัวชี้วัดการกระจาย
- ช่วง (Range) = สูงสุด − ต่ำสุด (ง่าย แต่ไวต่อค่าสุดขั้ว)
- IQR (四分位距) $=Q_3-Q_1$ — การกระจายของ middle $50\%$
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation) $s_x$ — ระยะทางทั่วไปของค่าจากค่าเฉลี่ย
- ตัวเลขการกระจายที่ใหญ่ขึ้นหมายถึงความแปรปรวนมากขึ้น
สำหรับชุดข้อมูลที่มี $Q_1=5$ และ $Q_3=7$, จงหา IQR
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\text{IQR}=Q_3-Q_1=7-5=2$.
ค่อนข้าง vs. เกรงไหว
- ค่ามัธยฐาน และ IQR เป็น ค่อนข้าง (Resistant) — ค่าผิดปกติแทบไม่ทำให้มันเปลี่ยน
- ค่าเฉลี่ย และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็น เกรงไหว (Sensitive) — ค่าสุดขั้วหนึ่งค่าสามารถเปลี่ยนมันได้มาก
- ดังนั้นสำหรับข้อมูล เบี่ยงเบน หรือข้อมูลที่มีค่าผิดปกติ ให้รายงาน ค่ามัธยฐานและ IQR
- กฎค่าผิดปกติ: ค่าใดเป็นค่าผิดปกติหากต่ำกว่า $Q_1-1.5\times\text{IQR}$ หรือสูงกว่า $Q_3+1.5\times\text{IQR}$
เมตริกใด ทนทาน ต่อค่าผิดปกติ?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Median และ IQR ทนต่อค่าผิดปกติ; mean และ SD ไม่ทน
ตามกฎ $1.5\times\text{IQR}$ ค่าผิดปกติที่สูงคือค่าใดก็ได้ที่อยู่เหนือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
วัดจากควอไทล์: $Q_3+1.5\,\text{IQR}$
สำหรับข้อมูลที่มีการเบี่ยงเบนอย่างมาก สรุปจุดกึ่งกลาง/การกระจายที่ดีที่สุดคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เมตริกที่ทนทานเหมาะสำหรับข้อมูลที่มีการเบี่ยงเบน
จับคู่การสรุปกับรูปร่าง: สำหรับ ข้อมูลเบี่ยงเบนหรือค่าผิดปกติ ใช้ ค่อนข้าง ค่ามัธยฐานและ IQR — ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะถูกดึงไปทางสุดขั้ว และ $1.5\times\text{IQR}$ กฎ วัดจาก 四分位数 ($Q_1,Q_3$) ไม่ใช่ค่าเฉลี่ย: ระบุค่าต่ำกว่า $Q_1-1.5\,\text{IQR}$ หรือสูงกว่า $Q_3+1.5\,\text{IQR}$
ข้อมูล: $4, 5, 6, 7, 100$
- ค่าเฉลี่ย $=\tfrac{4+5+6+7+100}{5}=24.4$ (ถูกดึงขึ้น bởi $100$). ค่ามัธยฐาน $=6$ (ไม่ได้รับผลกระทบ)
- ค่ามัธยฐาน ($6$) แทนค่าที่เป็น代表性的ได้ดีกว่าในกรณีนี้
- ด้วย $Q_1=5$, $Q_3=7$, $\text{IQR}=2$: $100>7+1.5(2)=10$, ดังนั้น $100$ จึงเป็น ค่าผิดปกติ
สรุป ค่ากึ่งกลาง ด้วย ค่าเฉลี่ย $\bar{x}$ หรือ ค่ามัธยฐาน และ การกระจาย ด้วย ช่วง, IQR $=Q_3-Q_1$ หรือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $s_x$. ค่ามัธยฐานและ IQR ค่อนข้าง ต่อค่าผิดปกติ; ค่าเฉลี่ยและ SD ไม่เช่นนั้น — ดังนั้นควรเลือกใช้สำหรับข้อมูลเบี่ยงเบน ระบุค่าผิดปกติด้วย $1.5\times\text{IQR}$ กฎ