การแปลงฟังก์ชัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| translation/trænˈsleɪʃn/ | การเลื่อน |
| dilation/daɪˈleɪʃn/ | การขยาย |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | การสะท้อน |
| domain/dəˈmeɪn/ | โดเมน |
| range/reɪndʒ/ | เรนจ์ |
ย้ายมัน ดึงมัน พลิกมัน
- เรียนรู้รูปร่างของฟังก์ชัน "แม่" (parent function) เพียงหนึ่งตัว แล้วคุณจะได้อาขาราย_keyทั้งครอบครัวมาฟรีๆ
- เลื่อนมัน ดึงให้ยาวขึ้น หรือพลิกมัน และสมการจะเปลี่ยนแปลงไปในรูปแบบที่คาดเดาได้
- กราฟที่ถูกแปลงรูปทุกชิ้น ก็คือฟังก์ชันแม่ที่ใส่ชุดแต่งกายเล็กน้อยเท่านั้นเอง
- ทำความเข้าใจการเคลื่อนย้ายสี่แบบ แล้วคุณสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันนับพันๆ ตัวด้วยสายตา
การแปลตำแหน่ง: การเลื่อนกราฟ
- การแปลตำแหน่ง (translation) คือการเลื่อนกราฟโดยไม่เปลี่ยนรูปร่างของมัน
- การเพิ่มค่า ภายนอก, $f(x) + k$, จะเลื่อนกราฟ แนวตั้ง ลงไป $k$ (ขึ้นหากเป็นบวก)
- การแทนที่ $x$ ด้วย $(x - h)$ ภายใน จะเลื่อนกราฟ แนวนอน ไป $h$
- การเปลี่ยนแปลงภายนอกมีผลต่อผลลัพธ์ (ขึ้น/ลง); การเปลี่ยนแปลงภายในมีผลต่ออินพุต (ซ้าย/ขวา)
การเพิ่มค่าคงที่ ภายนอก ฟังก์ชัน, $f(x) + 3$, เลื่อนกราฟ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การเพิ่มภายนอกเปลี่ยนแปลงเอาต์พุตโดยตรง ทำให้ทุกจุดยกขึ้น 3 — การเลื่อนแนวตั้งขึ้น
การขยายและสะท้อน
- การขยาย (dilation) ทำให้กราฟยืดหรือบีบอัด: $a\,f(x)$ เมื่อคูณด้วย $a > 1$ จะทำให้กราฟสูงขึ้น
- การสะท้อน (reflection) คือการพลิกมัน: $-f(x)$ สะท้อนผ่านแกน x; $f(-x)$ สะท้อนผ่านแกน y
- ค่าเศษส่วนอย่างเช่น $0.5\,f(x)$ จะทำให้กราฟถูกบีบอัดเข้าหาแกน x
- สิ่งเหล่านี้เปลี่ยนรูปร่างกราฟ; การแปลตำแหน่งเพียงแต่ย้ายตำแหน่งเท่านั้น
ยืด反射และเลื่อนพาราโบลา
y = a·f(b(x − h)) + k
เริ่มต้นจาก y = x² ทำให้เป็นลบเพื่อสะท้อน, ทำให้ใหญ่เพื่อยืด, และเปลี่ยน c เพื่อเลื่อนขึ้นหรือลง
การคูณฟังก์ชันทั้งหมดด้วย $-1$, ซึ่งให้ $-f(x)$, สร้าง ____ ตามแกน x
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เครื่องหมายลบภายนอกสะท้อนสัญญาณของเอาต์พุตทั้งหมด สะท้อนกราฟตามแกน x
กฎหลัก
- การแปลงรูปทุกชนิดสามารถจัดอยู่ในรูปแบบเดียว: $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$
- $a$ = การขยาย/การสะท้อนแนวตั้ง, $b$ = การขยาย/การสะท้อนแนวนอน, $h$ = การเลื่อนแนวนอน, $k$ = การเลื่อนแนวตั้ง
- อ่านค่าคงที่ตรงๆ จากกฎนี้เพื่อดูว่าเกิดอะไรขึ้นอย่างชัดเจน
- ส่วนนอก $f$ ($a$ และ $k$) เป็นแนวตั้ง; ภายใน ($b$ และ $h$) เป็นแนวนอน
การแทนที่ $x$ ด้วย $(x - 2)$ ภายใน ฟังก์ชัน เลื่อนกราฟ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การเลื่อนแนวนอนทำงาน ย้อนกลับ: $(x-2)$ เลื่อนกราฟ ขวา 2 หน่วย ไม่ใช่ซ้าย การเปลี่ยนแปลงภายในรู้สึกย้อนกลับ
เลือก ทุก ข้อความที่ถูกต้องเกี่ยวกับการแปลง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ค่าคงที่ ภายใน จะเลื่อน แนวนอน ไม่ใช่แนวตั้ง ข้ออื่นๆ ถูกต้องทั้งสามข้อ
จับคู่การเปลี่ยนแปลงแต่ละอย่างกับผลต่อ $y = f(x)$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ภายนอก = แนวตั้ง (เลื่อน, สะท้อน, ยืด); ภายใน = แนวนอน (และกลับด้าน)
ผลกระทบต่อโดเมนและเร้นจ์
- การเคลื่อนย้ายแนวตั้ง (การขยาย, การเลื่อน, การสะท้อนผ่านแกน x) เปลี่ยนรูปร่างของ เร้นจ์
- การเคลื่อนย้ายแนวนอน (การเลื่อน, การขยาย, การสะท้อนผ่านแกน y) เปลี่ยนรูปร่างของ โดเมน
- การเลื่อนแนวตั้งขึ้น $3$ เพิ่ม $3$ ให้กับผลลัพธ์ทุกค่า — เร้นจ์จะสูงขึ้น $3$
- คุณสมบัติสำคัญ (จุดยอด จุดตัด แกน แอสมิปโทต) เคลื่อนไหวไปตามกราฟ
การยืดแนวตั้งหรือการเลื่อนแนวตั้งสามารถเปลี่ยน ช่วง ของฟังก์ชันได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การแปลงแนวตั้งกระทำต่อเอาต์พุต จึง重塑ช่วง การแปลงแนวนอนกระทำต่ออินพุตและส่งผลต่อดοменแทน
การแปลงรูปแนวนอนรู้สึกเหมือน ย้อนกลับ ภายในฟังก์ชัน $(x - 2)$ เลื่อนกราฟไปทาง ขวา (ไม่ใช่ซ้าย), และ $f(2x)$ บีบอัด มัน (ไม่ใช่ออก) การเปลี่ยนแปลงภายในจะทำตรงข้ามกับสิ่งที่เครื่องหมายบ่งบอกเสมอ
อธิบาย $g(x) = -2(x-1)^2 + 4$ ที่สร้างมาจากฟังก์ชันแม่ $f(x) = x^2$
- ภายใน $(x-1)$ → เลื่อน ขวา 1 หน่วย
- ค่า $-2$ ด้านนอก → ขยาย เป็น 2 เท่าและ สะท้อน ผ่านแกน x (เปิดลง)
- ค่า $+4$ ด้านนอก → เลื่อน ขึ้น 4 หน่วย ตั้งจุดยอดไว้ที่ $(1, 4)$
กราฟทุกชิ้นคือฟังก์ชัน แม่ ที่ถูกแปลงรูปโดย $g(x) = a\,f(b(x-h)) + k$: การแปลตำแหน่ง (เลื่อน), การขยาย (ดึง), หรือ การสะท้อน (พลิก) การเปลี่ยนแปลงภายนอกเป็นแนวตั้งและเปลี่ยนรูปร่างของ เร้นจ์; การเปลี่ยนแปลงภายในเป็นแนวนอน เปลี่ยนรูปร่างของ โดเมน และทำงานย้อนกลับ