การหาอนุกรมเทย์เลอร์หรือมาคลาวรินของฟังก์ชัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Taylor series/ˈteɪlə ˈsɪəriːz/ | อนุกรมเทย์เลอร์ |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | อนุกรมแมคลอเรน |
พหุนามที่ไม่เคยหยุดยั้งของ
- A Taylor polynomial หยุดที่ดีกรี $n$ ปล่อยให้มันดำเนินต่อ ตลอดกาล แล้วคุณจะได้นอก Taylor series
- $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$ — เวอร์ชันอนันต์ แทนค่า $f$ ได้สมบูรณ์แบบในพื้นที่ที่มันลู่เข้า
- มีจุดศูนย์กลางที่ $0$, มันคือ Maclaurin series
- มีเพียงไม่กี่ชุดที่ต้องจดจำให้คล่อง
อนุกรมเทย์เลอร์ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $0$ เรียกว่าอนุกรม ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มาคลาวริน = เทย์เลอร์ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $0$
Maclaurin series ที่ต้องรู้ของ
- $\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
- $\displaystyle \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
- $\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
- $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^2+\cdots$ (geometric series, $|x|<1$)
cos x จากอนุกรม
$\cos x=1-\tfrac{x^2}{2!}+\tfrac{x^4}{4!}-\cdots$ — พจน์เลขชี้กำลังคู่, สัญญาณสลับ, ตัวหารเป็น factorial
อนุกรมมาคลาวรินสำหรับ $e^x$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
กำลังทั้งหมดและสัมประสิทธิ์ $\tfrac1{n!}$, ไม่มีการสลับเครื่องหมาย
อนุกรมสำหรับ $\dfrac{1}{1-x}$ (พร้อม $|x|<1$) คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุกรมเรขาคณิต $1+x+x^2+\cdots$
การสร้างจากศูนย์ของ
- คำนวณ $f(a),f'(a),f''(a),\dots$ และแทนลงใน $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$, ทีละพจน์
- มองหา รูปแบบ ในอนุพันธ์เพื่อเขียน ** $n$-พจน์ทั่วไป**
- Series ที่รู้จักข้างต้นมักจะ ถูก derivation ครั้งเดียว แล้วนำไปใช้ใหม่ — จดจำพวกมัน
- พจน์ทั่วไปคือสิ่งที่ทำให้มันเป็น series, ไม่ใช่แค่ไม่กี่พจน์
ใช้ $\cos x\approx1-\tfrac{x^2}{2}$, ประมาณ $\cos(0.2)$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$1-\tfrac{0.04}{2}=0.98$.
$\sin$ และ $\cos$ อยู่ในตระกูลเดียวกัน
- สังเกตว่า $\sin x$ ใช้ กำลังคี่ และ $\cos x$ ใช้ กำลังคู่ — และทั้งสองมีการสลับเครื่องหมาย
- $e^x$ มี ทุก กำลังด้วยสัมประสิทธิ์เป็นบวกทั้งหมด $\tfrac1{n!}$
- รูปแบบเหล่านี้ช่วยให้คุณเขียนพจน์ออกได้อย่างรวดเร็วและระบุได้ว่าโจทย์ต้องการ series哪一种
- การจดจำครอบครัวนี้คือครึ่งหนึ่งของชัยชนะในการสอบ
อนุกรมมาคลาวรินสำหรับ $\sin x$ ใช้...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sin x=x-\tfrac{x^3}{3!}+\cdots$ (คี่, สลับสัญญาณ)
ตัวหารในอนุกรมมาตรฐานเหล่านี้เป็น factorial
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พจน์ที่ $n$ มี $n!$ (หรือ $(2n)!$, $(2n+1)!$)
รักษา factorials และ รูปแบบเครื่องหมาย ให้ชัดเจน: $\sin x$ มีกำลังคี่ $x^{2n+1}$ (เริ่มต้นด้วย $x$), $\cos x$ มีกำลังคู่ $x^{2n}$ (เริ่มต้นด้วย $1$), ทั้งสอง สลับ; $e^x$ มีทุกกำลัง, ไม่มี การสลับ การสับสนระหว่างคี่/คู่หรือลืม $(-1)^n$ คือความผิดพลาดคลาสสิก
เขียน Maclaurin series สำหรับ $\cos x$ และ用它来ประมาณ $\cos(0.2)$ ถึงสองพจน์
- $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$
- สองพจน์ที่ $x=0.2$: $1-\dfrac{0.04}{2}=1-0.02=0.98$
- True $\cos 0.2\approx0.980$ ✓
อนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor series) คือ $\sum\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ ที่ไม่สิ้นสุด; เมื่อรวมศูนย์ที่ $0$ จะเรียกว่า อนุกรมแมคลอเรน (Maclaurin series) จดจำ $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ และ $\frac{1}{1-x}$ ให้ได้ สังเกต ลวดลายของแฟกทอเรียล และ เครื่องหมาย: $\sin$ = พจน์กำลังคี่, $\cos$ = พจน์กำลังคู่, ทั้งสองสลับเครื่องหมาย; $e^x$ = ทุกพจน์, ไม่มีการสลับเครื่องหมาย