การแสดงฟังก์ชันในรูปอนุกรมกำลัง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | อนุกรมกำลัง |
ใช้อนุกรมที่รู้จักเพื่อสร้างอนุกรมใหม่
- คุณไม่จำเป็นต้องหาอนุกรมเทย์เลอร์ทุกชุดโดยการหาอนุพันธ์ ดัดแปลง อนุกรมที่คุณรู้มาแทน
- เริ่มต้นจากอนุกรมเรขาคณิต $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ หรืออนุกรม $e^x,\sin,\cos$
- แทนค่า, คูณ, หาอนุพันธ์ หรือ อินทิเกรต เพื่อแสดงฟังก์ชันใหม่ในรูปของ อนุกรมกำลัง
- นี่คือการคำนวณพีชคณิตบนอนุกรม — รวดเร็วและชาญฉลาด
การแทนค่าและการคูณ
- แทนค่า-expression ลงใน $x$: แทน $x$ ด้วย $-x^2$ ใน $\frac1{1-x}$ เพื่อให้ได้ $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-x^2)^n=\sum(-1)^n x^{2n}$
- คูณ อนุกรมด้วยกำลังของ $x$ หรือค่าคงที่: $x\cdot e^x=\sum\frac{x^{n+1}}{n!}$
- การดำเนินการแต่ละขั้นตอนยังคงเป็นอนุกรมกำลังที่ถูกต้อง (ปรับช่วงการลู่เข้าสำหรับการแทนค่า)
- ไม่ต้องหาอนุพันธ์เพิ่มเติม — เพียงแค่ใส่ค่าแล้วรวมกัน
สร้างมาจากอนุกรมเรขาคณิต
y = a / (1 − b·x)
การแทนค่า $-x^2$ ลงใน $\tfrac{1}{1-x}=\sum x^n$ สร้างอนุกรมสำหรับ $\tfrac{1}{1+x^2}$ — ไม่ต้องหาอนุพันธ์ใหม่
การแทนค่า $u=-x^2$ ลงใน $\tfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ ให้ $\tfrac{1}{1+x^2}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(-x^2)^n=(-1)^n x^{2n}$.
การกระทำใดสร้างอนุกรมกำลังใหม่จากอนุกรม Known Value ได้?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แทนค่า, ขยาย/คูณ, หาอนุพันธ์, อินทิเกรต — ไม่ใช่การจัดเรียงแบบสุ่ม
การหาอนุพันธ์และอินทิเกรตทีละพจน์
- ภายในช่วงการลู่เข้า อนุกรมกำลังสามารถ หาอนุพันธ์ หรือ อินทิเกรต ทีละพจน์ได้
- อินทิเกรต $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^n x^{2n}$ เพื่อจะได้ $\arctan x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$
- หาอนุพันธ์ของอนุกรมเพื่อได้อนุกรมของอนุพันธ์
- การดำเนินการเหล่านี้สร้างอนุกรมที่มีชื่อเสียง (เช่น $\arctan$ และ $\ln(1+x)$) จากอนุกรมที่ง่ายกว่า
ภายในช่วงของการลู่เข้า อนุกรมกำลังสามารถหาอนุพันธ์และอินทิเกรตทีละพจน์ได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การกระทำที่ถูกต้องภายในช่วงของการลู่เข้า
การอินทิเกรต $\sum(-1)^n x^{2n}$ ทีละพจน์ให้อนุกรมสำหรับ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x$.
ชุดเครื่องมือที่ทรงพลัง
- แทนค่า, ขยายขนาด, คูณ, หาอนุพันธ์, อินทิเกรต — ห้า操作步骤, อนุกรมใหม่ไม่มีที่สิ้นสุด
- วิธีนี้มัก ช้า กว่ามากเมื่อเทียบกับการหาอนุพันธ์ระดับสูงโดยตรง
- อนุกรมใหม่จะสืบทอด (โดยประมาณ) รัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมเริ่มต้น
- การระบุว่าจะใช้วิธีการใดนั้นคือทักษะที่แท้จริง
การอินทิเกรตอนุกรมกำลังทีละพจน์จะเพิ่มค่าคงที่ ____, ซึ่งกำหนดโดยค่า Known Value
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เช่น $\arctan 0=0$ กำหนด $C=0$
การแทนค่า $x\to -x^2$ อาจเปลี่ยนช่วงของการลู่เข้า
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หาช่วงใหม่ในตัวแปรใหม่
การหาอนุพันธ์และอินทิเกรตทีละพจน์ใช้ได้ เฉพาะในช่วงการลู่เข้า เท่านั้น (และการอินทิเกรตจะเพิ่ม $+C$ — ต้องกำหนดค่าให้ชัดเจนด้วยค่า Known เช่น $\arctan 0=0$) เมื่อคุณ แทนค่า (เช่น $x\to -x^2$) ช่วงการลู่เข้าก็เปลี่ยนไป — ต้องหาคืนกลับจากตัวแปรใหม่
หาอนุกรมกำลังสำหรับ $\dfrac{1}{1+x^2}$
- เริ่มต้นจาก $\dfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ แล้วแทนค่า $u=-x^2$
- $\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n}=1-x^2+x^4-\cdots$ (สำหรับ $|x|<1$)
ในการแสดงฟังก์ชันในรูปของ อนุกรมกำลัง ให้ดัดแปลงอนุกรมที่รู้จัก: แทนค่า, คูณ/ขยายขนาด หรือ หาอนุพันธ์/อินทิเกรตทีละพจน์ (ใช้ได้ภายในช่วงการลู่เข้า; การอินทิเกรตเพิ่ม $+C$) ตัวอย่าง: การแทนค่าลงใน $\frac{1}{1-x}$ และการอินทิเกรตจะส่งผลให้ได้อนุกรมสำหรับ $\frac{1}{1+x^2}$ และ $\arctan x$