รัศมีและช่วงของการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | อนุกรมกำลัง |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | รัศมีลู่เข้า |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | ช่วงลู่เข้า |
-series กำลังมีความหมายเมื่อใด?
- ** series กำลัง** เป็นพหุนามอนันต์: $\sum c_n(x-a)^n$ — เหมือนกับ Taylor series ที่มีตัวแปร $x$
- มันลู่เข้าสำหรับบาง $x$ และลู่ออกสำหรับอย่างอื่น ** $x$ ตัวไหน?**
- คำตอบคือช่วงที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $a$ วัดด้วย รัศมีของการลู่เข้า $R$
- การหา $R$ และจุดปลายที่แน่นอนคือเป้าหมาย
รัศมีของการลู่เข้าของ
- Series กำลังจะลู่เข้าสำหรับ $|x-a|<R$ และลู่แยกสำหรับ $|x-a|>R$
- $R$ คือ รัศมี: series ลู่เข้าในระยะห่าง不超过 $R$ จากจุดศูนย์กลาง $a$
- สามความเป็นไปได้: $R=0$ (เฉพาะที่ $a$), $R=\infty$ (ทุก $x$), หรือ $R$ ที่มีจำนวนจำกัด
- หา $R$ ด้วย ** Ratio Test** กับพจน์ของ series
ช่วงของการลู่เข้า
อนุกรมกำลังลู่เข้าภายในรัศมี $R$ จากจุดศูนย์กลาง — ช่วงตั้งแต่ $a-R$ ถึง $a+R$, ตรวจสอบจุดปลายแยกต่างหาก
อนุกรมกำลัง $\sum c_n(x-a)^n$ ลู่เข้าสำหรับ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ภายในรัศมี $R$ จากจุดศูนย์กลาง $a$
รัศมีของการลู่เข้า $R$ สามารถเป็น...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
รัศมีไม่มีวันเป็นลบ
การหา R จาก Ratio Test ของ
- ใช้ Ratio Test: ตั้งค่า $\lim\big|\tfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\big|<1$ และแก้สมการเพื่อหาค่า $|x-a|$
- อสมการนี้มีรูปแบบ $|x-a|<R$, บ่งบอกรัศมีโดยตรง
- จุดศูนย์กลางคือ $a$; ช่วงตั้งแต่ $a-R$ ถึง $a+R$
- Ratio Test ทำหน้าที่หลัก — การคำนวณพีชคณิตแค่แยก $|x-a|$ ออกมา
สำหรับ $\sum\tfrac{x^n}{n}$, การทดสอบอัตราส่วนให้ $|x|<1$. ค่า $R$ คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$R=1$.
รัศมีของการลู่เข้าโดยทั่วไปหาได้จาก...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การทดสอบอัตราส่วนบนพจน์เผยให้เห็น $|x-a|<R$
ตรวจสอบจุดปลายแยกต่างหากของ
- Ratio Test ไม่สามารถสรุปได้ ณ จุดปลาย $x=a\pm R$ (ที่นั่น $L=1$)
- ดังนั้นทดสอบแต่ละจุดปลาย โดยแยกกัน โดยแทนค่าเข้าไปและใช้การทดสอบ series อื่นๆ
- ช่วงของการลู่เข้า อาจไม่รวมจุดปลายเลย รวมเพียงหนึ่งหรือทั้งสองจุด
- เขียนช่วงโดยใช้วงเล็บเปิด/ปิดที่ถูกต้องหลังจากตรวจสอบทั้งสองด้านแล้ว
การทดสอบอัตราส่วนไม่สามารถสรุปได้ที่จุดปลาย ต้องทดสอบแยกต่างหาก
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ที่ $x=a\pm R$, $L=1$; ใช้การทดสอบอื่น
สำหรับ $\sum\tfrac{x^n}{n}$: $x=1$ ลู่ออก, $x=-1$ ลู่เข้า ช่วงของการลู่เข้าคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
รวม $-1$ (ลู่เข้า), ทิ้ง $1$ (ลู่ออก)
Ratio Test ให้ รัศมี แต่ ไม่สามารถสรุปได้ ณ จุดปลาย — คุณต้องทดสอบ $x=a-R$ และ $x=a+R$ แยกต่างหาก (พวกเขาอาจลู่เข้าหรือลู่แยกอย่างอิสระ) อย่าสันนิษฐานว่าช่วงเป็นแบบเปิดหรือปิด; คำตอบอาจเป็น $[a-R,a+R)$, $(a-R,a+R]$ ฯลฯ ตรวจสอบทั้งสอง每次都 every time
หารัศมีและช่วงของการลู่เข้าของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}$
- Ratio Test: $\lim\big|\tfrac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\big|=|x|\cdot\lim\tfrac{n}{n+1}=|x|<1$, ดังนั้น $R=1$
- จุดปลาย: $x=1\Rightarrow\sum\tfrac1n$ (ลู่แยก); $x=-1\Rightarrow\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ (ลู่เข้า)
- ช่วงของการลู่เข้า: $[-1,1)$
อนุกรมกำลัง (power series) $\sum c_n(x-a)^n$ ลู่เข้าสำหรับ $|x-a|<R$, ที่ซึ่ง $R$ คือ รัศมีของการลู่เข้า (radius of convergence) (หาได้จาก การทดสอบอัตราส่วน Ratio Test) ช่วงของการลู่เข้า คือจาก $a-R$ ถึง $a+R$, โดยต้อง ทดสอบจุดปลายแยกต่างหาก (เพราะการทดสอบอัตราส่วนให้ผลลัพธ์ไม่ชัดเจนที่จุดนั้น) เพื่อตัดสินใจว่าเปิดหรือปิด