การหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งที่แสดงในรูปฟังก์ชันของ x
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น |
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น
- อินทิกรัลเดียวให้พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งกับ $x$-แกน แต่หากต้องการพื้นที่ระหว่าง สอง เส้นล่ะ?
- ตัดพื้นที่ออกเป็นแถบ แนวตั้ง บางๆ; ความสูงของแต่ละแถบคือช่องว่างระหว่างเส้นโค้ง
- บวก (อินทิเกรต) ความสูงเหล่านั้นตลอดช่วง — นั่นคือ พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น
- สูตรคือ "บน ลบ ล่าง, แล้วอินทิเกรต"
บน ลบ ล่าง
- หาก $f$ คือเส้นโค้ง บน และ $g$ คือเส้นล่างบน $[a,b]$:
-
$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
- แต่ละแถบแนวตั้งมีความสูง $f(x)-g(x)$ และความกว้าง $dx$
- ต้องลบเสมอ บน ลบ ล่าง เพื่อให้ความสูง (และพื้นที่) เป็นบวก
เส้นตรงอยู่เหนือพาราโบลา
y = ax² + bx + c
ระหว่างจุดตัด เส้นตรงจะอยู่เหนือพาราโบลา — ส่วนต่างแนวตั้งเมื่ออินทิกรัลคือพื้นที่ปิด
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งบน $f$ และเส้นโค้งล่าง $g$ บน $[a,b]$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
บน ลบ ล่าง, แล้วอินทิกรัล
หาขอบเขตจากจุดตัด
- ขอบเขต $a$ และ $b$ มักจะเป็นจุดที่เส้นโค้ง ตัดกัน — ตั้ง $f(x)=g(x)$ และแก้สมการ
- ค่า $x$ ที่จุดตัดเหล่านี้เป็นขอบซ้ายและขวาของพื้นที่ที่ถูกปิดล้อม
- ระหว่างจุดตัดทั้งสอง ตัดสินใจว่าเส้นไหนอยู่ด้านบน (ทดสอบด้วยจุดหนึ่ง)
- จากนั้นอินทิเกรตผลต่าง (บน-ล่าง) ตลอด $[a,b]$
$y=x+2$ และ $y=x^2$ ตัดกันที่ไหน?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
เพื่อตัดสินว่าเส้นโค้งไหนอยู่ด้านบนระหว่างจุดตัด คุณ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แทนค่าจุดทดสอบเพื่อดูว่าเส้นไหนสูงกว่า
ขอบเขตการอินทิกรัลมาจากการตั้งให้เส้นโค้งทั้งสอง ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แก้ $f(x)=g(x)$ เพื่อหาค่าตัด $x$
ใช้ได้แม้ใต้แกน
- เนื่องจากใช้สูตร ส่วนบนลบส่วนล่าง สูตรนี้จะจัดการกับพื้นที่ที่อยู่ใต้แกน $x$ อัตโนมัติ
- พจน์ $-g(x)$ ยกระดับทุกอย่าง ทำให้ไม่ต้องทำบัญชีแยกประเภท "พื้นที่มีเครื่องหมาย" แยกต่างหาก
- พื้นที่ที่อยู่ใต้แกนทั้งหมดก็ยังคงให้พื้นที่เป็นบวกด้วยวิธีบนลบล่าง
- นี่คือข้อดีของวิธีการหาความสูงช่องว่าง
พื้นที่ระหว่าง $y=x+2$ และ $y=x^2$ คือ $\int_{-1}^2 (x+2-x^2)\,dx$. คำนวณมัน (ทศนิยม)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อินทิกรัลมีค่าเท่ากับ $\tfrac92=4.5$
อินทิกรัล (ล่าง - บน) ให้ผลลัพธ์เป็นลบของพื้นที่จริง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การสลับลำดับจะเปลี่ยนเครื่องหมาย
ต้องลบเสมอ บน ลบ ล่าง — หากคุณสลับกัน จะได้ ค่าลบ ของพื้นที่จริง ตรวจสอบว่าเส้นไหนอยู่บน bằngการทดสอบค่า $x$ ระหว่างจุดตัด (เส้นสามารถสลับตำแหน่งกันได้ ซึ่งเป็นหัวข้อถัดไป) และขอบเขตมาจาก การตั้งให้เส้นโค้งเท่ากัน ไม่ใช่จาก $x$-แกน
จงหาพื้นที่ระหว่าง $y=x+2$ และ $y=x^2$
- จุดตัด: $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$
- บน $(-1,2)$ เส้นตรงอยู่ด้านบน (ทดสอบ $x=0$: เส้นตรง $=2>0=$ พาราโบลา)
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^2\big)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{9}{2}$.
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น (ฟังก์ชันของ $x$) คือ $A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$ โดยอินทิเกรต บนลบล่าง ตามแถบแนวตั้ง หา $a,b$ ที่เส้นโค้งตัดกัน ตัดสินใจว่าเส้นไหนอยู่ด้านบน แล้วอินทิเกรตส่วนต่าง ด้านบนลบด้านล่างจะทำให้ได้ค่าพื้นที่เป็นบวกอัตโนมัติ