โมเดลโลจิสติกส์ด้วยสมการต่าง ๆ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| logistic/ləˈdʒɪstɪk/ | โลจิสติกส์ |
| carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/ | ความจุในการรองรับของสิ่งแวดล้อม |
การเติบโตที่ชนเพดาน
- การเติบโตแบบเอกซ์โพเนนเชียลบริสุทธิ์เพิ่มขึ้นตลอดไป — ไม่สมจริงสำหรับประชากรจริงที่มีทรัพยากรจำกัด
- โมเดลโลจิสติก แก้ปัญหานี้: การเติบโตที่ช้าลงเมื่อใกล้ถึงค่าสูงสุด
- มันเริ่มเหมือนเอกซ์โพเนนเชียล แล้วราบเรียบเข้าสู่ ความสามารถในการรองรับ $L$
- มันเป็นโมเดลมาตรฐานสำหรับการเติบโตที่มีข้อจำกัด
สมการเชิงอนุพันธ์โลจิสติก
-
$$\dfrac{dP}{dt}=kP\Big(1-\dfrac{P}{L}\Big)$$
- ส่วน $kP$ เป็นการเติบโตแบบเอกซ์โพเนนเชียล; ปัจจัย $\big(1-\tfrac{P}{L}\big)$ เบรก เมื่อ $P$ ใกล้เคียง $L$
- เมื่อ $P$ เล็ก, $1-\tfrac{P}{L}\approx1$:近似เอกซ์โพเนนเชียล. เมื่อ $P\approx L$, ปัจจัย $\to0$: การเติบโตหยุด
- $L$ คือ ความสามารถในการรองรับ — เพดานของประชากร
สมการต่างของโลจิสติกส์คือ $\dfrac{dP}{dt}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตัวลด $(1-P/L)$ ชะลอการเติบโตใกล้ $L$
ค่าสูงสุดที่ยั่งยืน $L$ ที่ $P$ เข้าถึงคือ ____ capacity
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความจุรองรับคือเพดาน
พฤติกรรมระยะยาว
- เมื่อ $t\to\infty$, $P$ เข้าใกล้ ความสามารถในการรองรับ $L$ (สำหรับ $0<P_0<L$)
- $P=L$ เป็นสมดุลที่เสถียร; $P=0$ เป็นจุดที่ไม่เสถียร
- ต่ำกว่า $L$ ประชากรจะเพิ่มขึ้นสู่ $L$; สูงกว่า $L$ มันจะลดลงกลับไปที่ $L$
- ดังนั้น $L$ คือค่าที่โมเดลจะ 정착ลง โดยไม่ขึ้นกับจุดเริ่มต้น (ที่เป็นบวก)
โค้งโลจิสติกส์รูปตัว S
y = a·tanh(bx) + d (รูปตัว S)
เส้นโค้งโลจิสติกส์พุ่งสูงขึ้นอย่างรวดเร็วใกล้กึ่งกลางและแบนราบเข้าหาขีดจำกัดการรองรับ $L$ — คดที่สุดที่ $P=L/2$
สำหรับ $\dfrac{dP}{dt}=0.1P(1-\tfrac{P}{2000})$, ค่าความจุรองรับคือ $L$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$L=2000$, ลิมิตระยะยาว
เมื่อ $t\to\infty$ (พร้อม $0<P_0<L$), ประชากร $P$ เข้าใกล้...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$P\to L$ จากด้านล่าง
การเติบโตเร็วที่สุดที่ครึ่งความจุ
- ประชากรเติบโต เร็วที่สุด เมื่อ $P=\dfrac{L}{2}$ — จุดกึ่งกลางของ S-curve
- ที่那里 logistic curve มี จุดเปลี่ยนความเว้า: การเติบโตเร่งตัวขึ้นใต้ $L/2$, ช้าลงเหนือ
- ก่อน $L/2$ อัตราเพิ่มขึ้น; หลังนั้น ลดลงเข้าใกล้ศูนย์
- จุดสูงสุดที่ความจุครึ่งหนึ่งนี้เป็นข้อสอบที่พบบ่อย
สำหรับโมเดลเดียวกัน ($L=2000$), ที่ประชากรเท่าไรที่การเติบโตเร็วที่สุด?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เร็วที่สุดที่ $P=L/2=1000$
การเติบโตเร็วที่สุดที่ค่าความจุรองรับ $P=L$ พอดี
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ที่ $P=L$ การเติบโตหยุดลง; อัตราเร็วที่สุดอยู่ที่ $P=L/2$
ความจุรองรับ $L$ คือจุดที่การเติบโต หยุด ($\frac{dP}{dt}=0$ เพราะตัวประกอบ $\big(1-\tfrac{P}{L}\big)$ มีค่าเป็น $0$), ไม่ใช่ จุดที่เร็วที่สุด อัตราการเติบโตสูงสุดอยู่ที่ $P=\tfrac{L}{2}$ อย่าสับสนระหว่างสองสิ่งนี้: $L$ เป็นเพดานที่ประชากรเข้าใกล้; $\tfrac L2$ เป็นจุดที่มันเพิ่มเร็วที่สุด
ประชากรปลาเป็นไปตาม $\dfrac{dP}{dt}=0.1P\big(1-\tfrac{P}{2000}\big)$
- ความจุรองรับ: $L=2000$ ปลา — ขอบเขตระยะยาว
- การเติบโตเร็วที่สุดที่ $P=\tfrac{L}{2}=1000$ ปลา
- เมื่อ $t\to\infty$, $P\to 2000$ จากด้านล่าง (ถ้าเริ่มต้นต่ำกว่า $2000$)
โมเดล โลจิสติก $\frac{dP}{dt}=kP\big(1-\frac{P}{L}\big)$ อธิบายการเติบโตที่จำกัดโดย ความจุรองรับ $L$: เกือบเอ็กซ์โพเนนเชียลเมื่อมีจำนวนน้อย และคงที่เข้าหา $L$ เมื่อ $t\to\infty$ การเติบโตจะ เร็วที่สุดที่ $P=\tfrac L2$ (จุดเปลี่ยนเว้า) และหยุดที่ $P=L$