โมเดลเอ็กซ์โพเนนเชียลพร้อมสมการเชิงอนุพันธ์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | การเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล |
| exponential model/ˌekspəˈnenʃl ˈmɒdl/ | โมเดลเอ็กซ์โพเนนเชียล |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | การสลายตัวแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล |
สมการเบื้องหลังการเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล
- สมการเชิงอนุพันธ์หนึ่งปรากฏขึ้นทุกที่: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — "อัตราส่วนแปรผันตรงกับปริมาณ"
- คำตอบของมันคือ โมเดลเอ็กซ์โพเนนเชียล ที่มีชื่อเสียง $y=y_0 e^{kt}$
- ประชากร, การสลายตัวของสารกัมมันตรังสี, ดอกเบี้ยทบต้น, การทำความเย็น — ทั้งหมดปฏิบัติตามรูปแบบนี้
- แก้สมการนี้เพียงครั้งเดียว คุณก็จะ掌握了庞大的现实世界โมเดล
การหา $y=y_0 e^{kt}$
- แยกตัวแปร: $\dfrac{1}{y}\,dy = k\,dt$. อินทิเกรต: $\ln|y|=kt+C$
- ทำเลขยกกำลัง: $y = e^{kt+C}=A\,e^{kt}$.
- ใช้ค่าเริ่มต้น $y(0)=y_0$: $A=y_0$.
- คำตอบ: $y=y_0 e^{kt}$ — ค่าเริ่มต้นคูณด้วย $e^{kt}$.
คำตอบของ $\dfrac{dy}{dt}=ky$ กับ $y(0)=y_0$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แยกและอินทิเกรต: $y=y_0 e^{kt}$
การเติบโต เมื่อ $k>0$
- ถ้า $k>0$, แล้ว $e^{kt}$ จะเพิ่มขึ้น ดังนั้น $y$ จึงแสดงถึง การเติบโตแบบเอกซ์โพเนนเชียล.
- ปริมาณจะคูณกันอย่างต่อเนื่อง ยิ่งมีขนาดใหญ่ขึ้น ก็ยิ่งเติบโตเร็วขึ้นเท่านั้น
- $k$ คืออัตราการเติบโต (ต่อเนื่อง); ค่า $k$ ที่มากขึ้นหมายถึงการเติบโตที่เร็วขึ้น
- ตัวอย่าง: ประชากรที่ไม่ถูกควบคุม, ดอกเบี้ยทบต้น
การเติบโต (k>0) เทียบกับการสลายตัว (k<0)
y = a·e^{bx}
$y=y_0 e^{kt}$ เพิ่มขึ้นเมื่อ $k>0$ และลดลงเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ $k<0$ — สัญญาณของ $k$ กำหนดพฤติกรรม
ใน $y=y_0 e^{kt}$ การเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเกิดขึ้นเมื่อ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$k>0$ ทำให้ $e^{kt}$ เพิ่มขึ้น → การเติบโต
สำหรับ $P=500e^{0.3t}$, หาค่า $P(0)$ (ปริมาณเริ่มต้น)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$P(0)=500 e^0=500$.
การสลายตัว เมื่อ $k<0$
- ถ้า $k<0$, แล้ว $e^{kt}$ จะลดลง ดังนั้น $y$ จึงแสดงถึง การสลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล
- ปริมาณจะหดตัวเข้าใกล้ $0$ แต่ไม่เคยเข้าถึงจุดนั้นเสียที
- การสลายตัวของสารกัมมันตรังสีและความแตกต่างของอุณหภูมิเป็นไปตาม $k<0$
- ขนาด $|k|$ กำหนดความเร็วในการสลายตัว (สัมพันธ์กับครึ่งชีวิต)
การสลายตัวแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเกิดขึ้นเมื่อ $k$ เป็น ____ (สัญญาณของมัน)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$k<0$ ทำให้ $e^{kt}$ หดตัวเข้าใกล้ $0$
โมเดล $y=y_0 e^{kt}$ ใช้กับสถานการณ์ที่มีอัตราคงที่ $\dfrac{dy}{dt}=c$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อัตราคงที่ให้เส้นตรง; โมเดลเอ็กซ์โพเนนเชียลต้องการอัตรา ∝ ปริมาณ
สถานการณ์ใดถูกจำลองด้วย $\dfrac{dy}{dt}=ky$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
สามอย่างแรกมีอัตราแปรผันตามปริมาณ; ก๊อกน้ำที่มีอัตราคงที่ไม่ใช่
โมเดลเอกซ์โพเนนเชียลเกิดจาก $\frac{dy}{dt}=ky$ เท่านั้น (อัตราแปรผันตรงกับ ปริมาณ) อย่าใช้ $y=y_0 e^{kt}$ กับสถานการณ์ที่มีอัตราคงที่ ($\frac{dy}{dt}=c$ ซึ่งจะได้ เส้นตรง) และเครื่องหมายของ $k$ สำคัญมาก: $k>0$ เติบโต, $k<0$ สลายตัว — หากเครื่องหมายผิดจะเปลี่ยนพฤติกรรมทั้งหมด
อาณานิคมของแบคทีเรีย $500$ เติบโตจนได้ $\dfrac{dP}{dt}=0.3P$ ($t$ ชั่วโมง) จงหา $P(t)$ และ $P(4)$
- โมเดล: $P=P_0 e^{kt}=500\,e^{0.3t}$
- ณ $t=4$: มี $P(4)=500\,e^{1.2}\approx500(3.32)\approx1660$ แบคทีเรีย
- เนื่องจาก $k=0.3>0$, นี่คือกรณีการเติบโตแบบเอกซ์โพเนนเชียล
สมการเชิงอนุพันธ์ $\frac{dy}{dt}=ky$ ให้ โมเดลเอกซ์โพเนนเชียล $y=y_0 e^{kt}$, โดยที่ $y_0$ คือค่าเริ่มต้น $k>0$ → การเติบโตแบบเอกซ์โพเนนเชียล; $k<0$ → การสลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล ใช้ได้ก็ต่อเมื่ออัตราแปรผันตรงกับปริมาณปัจจุบันเท่านั้น