การหาคำตอบเฉพาะโดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้นและการแยกตัวแปร
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | เงื่อนไขเริ่มต้น |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | คำตอบเฉพาะ |
กำหนดเส้นcurve จริงเพียงเส้นเดียว
- คำตอบทั่วไปคือ ครอบครัว ที่มีค่าคงที่ $C$ แต่ความเป็นจริงต้องการ เส้นcurve เพียงเส้นเดียว
- เงื่อนไขเริ่มต้น — ซึ่งเป็นจุดที่ทราบค่า $\big(x_0,y_0\big)$ — จะเลือกสมาชิกเส้น curve นั้นออกมา
- แก้สมการโดยทั่วไปก่อน แล้วใช้จุดนั้นเพื่อหาค่า $C$
- ผลลัพธ์คือ คำตอบเฉพาะ สำหรับสถานการณ์นั้น
เส้นโค้งเดียวที่ถูกเลือกโดยเงื่อนไขเริ่มต้นคือคำตอบ ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สมาชิกหนึ่งของครอบครัวทั่วไป
ขั้นตอนทั้งหมด
- 1. แยกตัวแปรและอินทิเกรตทั้งสองด้าน (พร้อมค่า $+C$) — เพื่อได้คำตอบทั่วไป
- 2. แทนค่า เงื่อนไขเริ่มต้น $\big(x_0,y_0\big)$ เพื่อแก้หา $C$
- 3. นำค่า $C$ นั้นกลับเข้าไปและจัดรูปให้เรียบง่าย
- 4. หากโจทย์ถาม ให้แก้หา $y$ แบบชัดเจน
จุดเริ่มต้นเลือกเส้นโค้งหนึ่งเส้น
คำตอบทั่วไปคือครอบครัวทั้งหมด; เงื่อนไขเริ่มต้น $y(x_0)=y_0$ เลือกเส้นโค้งเดียวที่ผ่านจุดนั้น
คุณใช้เงื่อนไขเริ่มต้นเพื่อหาค่า $C$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
รับคำตอบทั่วไปก่อน แล้วใช้จุดเพื่อหาค่า $C$
เรียงลำดับขั้นตอนสำหรับคำตอบเฉพาะ
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
แยก, อินทิเกรต, ใช้จุด, ลดรูป
ตัวอย่างคำตอบเฉพาะที่คำนวณแล้ว
- แก้ $\dfrac{dy}{dx}=xy$ พร้อม $y(0)=3$
- คำตอบทั่วไป (จากบทที่แล้ว): $y=A\,e^{x^2/2}$
- ใช้จุดนั้น: $3 = A\,e^{0}=A$, ดังนั้น $A=3$
- คำตอบเฉพาะ: $y=3\,e^{x^2/2}$
สำหรับ $y=x^2+C$ ที่มี $y(1)=5$, หา $C$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$5=1+C\Rightarrow C=4$.
คำตอบเฉพาะคือ $y=x^2+4$. หาค่า $y(3)$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$3^2+4=13$.
สำหรับ $\dfrac{dy}{dx}=xy$ กับ $y(0)=3$ (ค่า $y=Ae^{x^2/2}$ ทั่วไป), คำตอบเฉพาะคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$y(0)=A=3$, ดังนั้น $y=3e^{x^2/2}$.
ระวังช่วงนิยาม
- การแก้หา $y$ อาจเกี่ยวข้องกับ $\ln$, รากที่สอง, หรือเศษส่วน — ต้องระวังว่าคำตอบจะ ใช้ได้ ในบริเวณไหน
- คำตอบเฉพาะมักอยู่ในช่วงที่มี $x_0$ อยู่ ไม่ใช่จำเป็นต้องครอบคลุมทุกจำนวนจริง $x$
- สัญญาณบวก/ลบ หรือค่าสัมบูรณ์อาจต้องใช้จุดที่กำหนด来帮助ตัดสินใจ (เช่น $y_0>0$ เลือก ветвь $+$)
- ระบุช่วงนิยามเมื่อการคำนวณจำกัดขอบเขตไว้
ใช้เงื่อนไขเริ่มต้น หลังจาก ทำอินทิเกรต เพื่อหา $C$ — ไม่ใช่ก่อนหน้า และใช้จุดเพื่อแก้ปัญหาความไม่ชัดเจนของเครื่องหมาย/สาขา: หาก $\ln|y|=\dots$ และ $y_0>0$ ให้ทิ้งค่าสัมบูรณ์ตาม $y>0$ การแทนค่าจุด terlaluเร็ว (เช่น คำเตือนในวิธีแยกตัวแปร)จะทำให้สูญเสียครอบครัวคำตอบทั่วไป
แก้ $\dfrac{dy}{dx}=2x$ ด้วย $y(1)=5$
- คำตอบทั่วไป: $y=x^2+C$
- ใช้ $y(1)=5$: $5 = 1^2 + C \Rightarrow C=4$
- คำตอบเฉพาะ: $y=x^2+4$
คำตอบเฉพาะเจาะจง คือสมาชิกหนึ่งภายในครอบครัวคำตอบทั่วไปที่กำหนดโดย เงื่อนไขเริ่มต้น แก้ปัญหาโดยทั่วไป (ทำอินทิเกรต, เก็บ $+C$), แทนค่าจุด $\big(x_0,y_0\big)$ เพื่อหา $C$, และทำให้รูปอย่างง่าย ใช้จุดเพื่อตัดสินใจเรื่องเครื่องหมาย/สาขาและระบุโดเมนที่ยอมรับได้