การหาคำตอบทั่วไปด้วยการแยกตัวแปร
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| separable/ˈsepərəbl/ | แยกตัวแปรได้ |
วาง $x$'s และ $y$'s ไว้คนละด้าน
- ในการ แก้ สมการเชิงอนุพันธ์ (ไม่ใช่แค่วาด) เราใช้การอินทิเกรต — แต่ก่อนอื่นต้องแยกตัวแปร
- สมการเชิงอนุพันธ์เป็นแบบ แยกตัวแปรได้ หากคุณเขียนใหม่ให้ด้านหนึ่งมีแต่ $y$ และอีกด้านมีแต่ $x$
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ คือรูปแบบที่เป็นลักษณะเฉพาะ: ผลคูณของส่วน $x$ กับส่วน $y$
- จากนั้นแต่ละด้านสามารถอินทิเกรตแยกกันได้
สมการใดที่แยกตัวแปรได้?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$xy$ แยกเป็น (ส่วน$x$)$\times$(ส่วน$y$); ผลบวกไม่สามารถทำได้
$\dfrac{dy}{dx}=x+y$ ไม่สามารถแยกตัวแปรได้เพราะคุณไม่สามารถแยก ____ ออกมา
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การแยกตัวแปรต้องใช้ผลคูณ ไม่ใช่ผลบวก
แยกตัวแปร
- จัดการ $\dfrac{dy}{dx}$ เป็นอัตราส่วนของดิฟเฟอเรนเชียล แล้วย้ายตัวแปรแต่ละตัวไปด้านของตัวเอง
- จาก $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$: หารด้วย $h(y)$ และคูณด้วย $dx$:
-
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$
- ตอนนี้แต่ละด้านมีแต่ ตัวแปรเดียว และดิฟเฟอเรนเชียลของมัน — พร้อมสำหรับการอินทิเกรต
การแยก $\dfrac{dy}{dx}=xy$ จะได้...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หารด้วย $y$ คูณด้วย $dx$: $\tfrac1y\,dy=x\,dx$
อินทิเกรตทั้งสองด้าน
- อินทิเกรตฝั่งซ้ายใน $y$ และฝั่งขวาใน $x$: จะได้ $\displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$
- เพิ่มค่าคงที่เพียงค่าเดียว $+C$ (หนึ่งค่าก็พอ — รวมค่าคงที่ทั้งสองด้านเข้าด้วยกัน)
- จากนั้นแก้หา $y$ ถ้าทำได้ เพื่อให้ได้ คำตอบทั่วไป
- ผลลัพธ์คือครอบครัวของฟังก์ชันที่มีค่าคงที่ $C$
คำตอบทั่วไปคือครอบครัวของฟังก์ชัน
การแก้ $\tfrac{dy}{dx}=ay$ ให้ $y=Ce^{ax}$ —有一条曲线对应一个常数，所有曲线都符合同一个场。
อินทิเกรต $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$ จะได้...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|$; $\int x\,dx=\tfrac{x^2}{2}$; บวก $+C$
เก็บ $+C$ (และแก้หา $y$)
- ค่าคงที่ของการอินทิเกรตคือสิ่งที่ทำให้สิ่งนี้เป็น ครอบครัว — อย่าทิ้งมันเด็ดขาด
- มักจะต้องทำเอ็กซ์โพเนนเชียลหรือจัดรูปเพื่อแยก $y$ ออกมา; ส่วน $C$ จะเปลี่ยนแปลงแต่ยังคงอยู่
- การทิ้งคำตอบในรูปแบบความสัมพันธ์แบบแฝงก็ได้หากไม่สามารถแยก $y$ ออกมาได้อย่างชัดเจน
- เงื่อนไขเริ่มต้นในบทถัดไป (บทเรียน 7.7) จะช่วยกำหนดค่า $C$ ได้
คุณควรใส่ค่าคงที่ $+C$ เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยการแยกตัวแปร
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่า $+C$ ให้คำตอบทั่วไป (ครอบครัวของคำตอบ)
คำตอบทั่วไปของ $\dfrac{dy}{dx}=xy$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เอ็กซ์โพเนนเชียล $\ln|y|=\tfrac{x^2}{2}+C$ เพื่อให้ได้ $y=A e^{x^2/2}$
การแยกตัวแปรใช้ได้ เฉพาะ เมื่อสมการแยกตัวประกอบได้เป็น (ฟังก์ชันของ $x$) × $\times$ × (ฟังก์ชันของ $y$) เช่น $\frac{dy}{dx}=x+y$ นั้น ไม่สามารถแยกตัวแปรได้ — เพราะเราไม่สามารถแยก ผลบวก ได้ และอย่าลืมใส่ $+C$ หลังการอินทิเกรต: หากไม่มีมันคุณจะได้อีกเส้นcurve เดียว ไม่ใช่ครอบครัวคำตอบทั่วไป
แก้ $\dfrac{dy}{dx}=xy$ (คำตอบทั่วไป)
- แยกตัวแปร: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$
- ทำอินทิเกรต: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2}+C$
- ทำเอ็กซ์โพเนนเชียล: $y = e^{x^2/2+C}=A\,e^{x^2/2}$ (เขียน $A=e^C$) คำตอบทั่วไป: $y=A\,e^{x^2/2}$
การแยกตัวแปร แก้สมการแบบ แยกตัวแปรได้ $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$: จัดรูปใหม่เป็น $\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$, อินทิเกรต ทั้งสองด้าน (มี $+C$ หนึ่งค่า), และแก้หา $y$ เพื่อได้ คำตอบทั่วไป ใช้ได้เฉพาะเมื่อสมการแยกตัวประกอบเป็น ส่วน $x$ คูณ กับ ส่วน $y$