การประมาณคำตอบโดยใช้วิธีของออยเลอร์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/ | วิธีของออยเลอร์ |
| step size/step saɪz/ | ขนาดก้าว |
เดินตามวิธีแก้ทีละขั้นตอนเล็กๆ
- ไม่ใช่ทุกสมการเชิงอนุพันธ์สามารถแก้ได้ด้วยสูตร —但你仍可 ประมาณคำตอบด้วยตัวเลข
- วิธีของออยเลอร์ ตามเส้นสนามความชันเป็นก้าวตรงเล็กๆ จากจุดเริ่มต้น
- ที่แต่ละจุด ใช้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อหาความชัน แล้วก้าวไปข้างหน้าตามนั้น
- ทำซ้ำ และคุณจะวาดเส้นโค้งคำตอบที่ประมาณได้
กฎการอัปเดต
- กำหนด $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ และจุดเริ่มต้น $(x_0,y_0)$,取固定的 ขนาดก้าว $h$:
-
$$y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),\qquad x_{n+1}=x_n+h$$
- ค่า $y$ ใหม่ = ค่า $y$ เก่า + (ความชันที่นั่น) × (ก้าว $h$)
- มันคือ "ค่าปัจจุบันบวกความชันคูณก้าว" — ก้าวแบบเส้นสัมผัส
ก้าวไปตามสนามความชัน
วิธีของออยเลอร์ใช้ก้าวตรงสั้นๆ ตามสนามความชัน — ก้าวยิ่งเล็กยิ่งติดกับเส้นโค้งจริงได้ดีขึ้น
กฎอัปเดตของออยเลอร์คือ $y_{n+1}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่าเก่า $y$ บวกด้วยความชันคูณขั้น
การเพิ่มค่าคงที่ $h$ ที่ใช้ในแต่ละขั้นของออยเลอร์เรียกว่าขนาด ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x$ bullying by the step size $h$ each iteration.
เดินผ่านตาราง
- จัดงานลงในตาราง: แต่ละแถว อ่าน $(x_n,y_n)$, คำนวณความชัน $f(x_n,y_n)$, แล้วได้ $y_{n+1}$
- ขยาย $x$ ขึ้น $h$ ในแต่ละแถวและทำซ้ำจนกว่าจะถึงค่าเป้าหมาย $x$
- ทุกก้าวเป็นการคำนวณเลขคณิต; สมการเชิงอนุพันธ์ให้ความชัน
- หลังจากไม่กี่แถว คุณจะได้ค่าประมาณของ $y$ ที่เป้าหมาย
สำหรับ $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, $h=0.5$: ความชันที่ $(0,1)$ คือ $1$. หา $y_1$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$1+0.5(1)=1.5$.
ทำต่อ ($y_1=1.5$ ที่ $x=0.5$, ความชัน $=2$), หา $y(1)\approx y_2$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$1.5+0.5(2)=2.5$.
ความแม่นยำและขนาดก้าว
- วิธีของออยเลอร์เป็นเพียง การประมาณ — มันเดินตามเส้นสัมผัสตรงๆ จึงเบี่ยงเบนจากเส้นโค้งจริง
- ขนาดก้าว $h$ ที่ เล็กลง ให้ค่าประมาณที่ แม่นยำขึ้น (แต่ใช้ก้าวมากขึ้น)
- บน curve ที่ เว้าขึ้น (concave-up) ออยเลอร์มัก ประเมินต่ำ; เว้าลง ประเมินสูง
- ก้าว越多, Error น้อยลง — การแลกเปลี่ยนความแม่นยำแบบคลาสสิก
การใช้ขนาดขั้นที่เล็กลง $h$ โดยทั่วไปจะทำให้การประมาณของออยเลอร์...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ก้าวที่เล็กลดการเบี่ยงเบนจากเส้นโค้งจริง
คุณต้องคำนวณความชันใหม่在每个新点，而不是重复使用初始斜率。
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความชัน $f(x_n,y_n)$ เปลี่ยนแปลงในแต่ละขั้น
ใช้ความชันที่ จุดปัจจุบัน $(x_n,y_n)$ สำหรับแต่ละก้าว ไม่ใช่ความชันคงที่ และแต่ละก้าวจะอัปเดต ทั้ง $x$ (โดย $h$) และ $y$ (โดย $h\cdot f$) ข้อผิดพลาดทั่วไปคือการนำความชันเริ่มต้นมาใช้ซ้ำในทุกก้าว — ความชันต้อง คำนวณใหม่ ที่แต่ละจุดใหม่
ประมาณค่า $y(1)$ สำหรับ $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, ด้วยก้าว $h=0.5$
- ขั้นตอนที่ 1: ความชันที่ $(0,1)$ คือ $0+1=1$; $y_1=1+0.5(1)=1.5$, $x_1=0.5$
- ขั้นตอนที่ 2: ความชันที่ $(0.5,1.5)$ คือ $0.5+1.5=2$; $y_2=1.5+0.5(2)=2.5$, $x_2=1$
- ดังนั้น $y(1)\approx 2.5$
วิธีของออยเลอร์ ประมาณคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ด้วยการก้าวตามเส้นสัมผัส: $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$ ด้วย ขนาดก้าว $h$ ที่คงที่, คำนวณความชันใหม่ที่แต่ละจุด มันเป็นการประมาณ (ก้าวตรงเบี่ยงเบนจากcurve); $h$ ที่ เล็กลง ช่วยเพิ่มความแม่นยำ