การตรวจสอบคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| solution/səˈluːʃn/ | คำตอบ |
ฟังก์ชันนี้确实是คำตอบหรือไม่?
- ก่อนแก้สมการเชิงอนุพันธ์ คุณควรตรวจสอบคำตอบที่เสนอได้
- คำตอบ ของสมการเชิงอนุพันธ์คือฟังก์ชันที่ทำให้สมการเป็นจริง
- การทดสอบเป็นเพียงขั้นตอนทางกลไก: หาอนุพันธ์ของตัว candidata แล้วแทนค่า
- หากทั้งสองข้างเท่ากันสำหรับทุก $x$ นั่นคือคำตอบ; ถ้าไม่เท่ากัน ก็ไม่ใช่คำตอบ
ขั้นตอนการตรวจสอบ
- 1. นำฟังก์ชัน candidata มาหาอนุพันธ์ (หรืออนุพันธ์หลายระดับ)
- 2. แทนค่า ฟังก์ชันและอนุพันธ์ลงในสมการเชิงอนุพันธ์
- 3. ลดรูปทั้งสองข้างและตรวจสอบว่า เท่ากัน (ในฐานะเอกลักษณ์ใน $x$)
- ไม่จำเป็นต้องใช้การอินทิเกรต — การตรวจสอบคือการหาอนุพันธ์แล้วแทนค่าเท่านั้น
เพื่อตรวจสอบคำตอบที่เป็นไปได้, คุณ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หาอนุพันธ์คำตอบที่เป็นไปได้, แทน, ตรวจสอบว่าทั้งสองข้างเท่ากัน
ตัวอย่างการตรวจสอบแบบมีคำตอบ
- $y=e^{3x}$ แก้ $\dfrac{dy}{dx}=3y$ ได้หรือไม่?
- หาความชัน: $\dfrac{dy}{dx}=3e^{3x}$
- แทนค่าในฝั่งขวา: $3y=3e^{3x}$
- ซ้าย $=$ ขวา ($3e^{3x}=3e^{3x}$) ดังนั้น ใช่, $y=e^{3x}$ เป็นคำตอบ ✓
คำตอบของ dy/dx = ky
แต่ละเอกซ์โพเนนเชียล $y=Ce^{kx}$ ขีดเส้นผ่านสนามความชัน — การตรวจสอบหนึ่งอย่างยืนยันว่าอนุพันธ์ของมันตรงกับ $ky$
$y=e^{3x}$ เป็นคำตอบของ $\dfrac{dy}{dx}=3y$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{dy}{dx}=3e^{3x}=3y$. ✓
ทั้งสองข้างต้องเท่ากันสำหรับ ____ ค่าของ $x$, ไม่ใช่แค่หนึ่งเดียว, เพื่อยืนยันคำตอบ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คำตอบสอดคล้องกับสมการอย่างมีนัยสำคัญ
คำตอบทั่วไป vs คำตอบเฉพาะ
- $y=Ce^{3x}$ (ด้วยค่าคงที่ $C$ ใดๆ) ก็แก้ $\dfrac{dy}{dx}=3y$ ได้ — ทั้งกลุ่มนี้คือ คำตอบทั่วไป
- เลือกค่า $C$ เฉพาะเจาะจงหนึ่งค่า จะได้ คำตอบเฉพาะ
- การตรวจสอบทำได้เหมือนกันสำหรับทั้งสองกรณี: หาอนุพันธ์และตรวจสอบว่าสมการเป็นจริง
- ค่าคงที่ติดมาตลอดกระบวนการหาอนุพันธ์ ทำให้การตรวจสอบยังคงสมดุลอยู่
การตรวจสอบคำตอบที่กำหนดต้องการการอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การตรวจสอบคือการหาอนุพันธ์และแทน; ไม่มีการอินทิเกรต
สำหรับค่าคงที่ $C$ ใด $y=Ce^{3x}$ แก้ $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{dy}{dx}=3Ce^{3x}=3y$ สำหรับทุก $C$ — คำตอบทั่วไป
$y=x^2+C$ เป็นคำตอบของ $\dfrac{dy}{dx}=2x$ หรือไม่?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{dy}{dx}=2x$ ไม่ว่า $C$ จะเป็นอย่างไร
การตรวจสอบ ไม่ใช่ การแก้สมการ — คุณแค่ตรวจสอบ ตัว candidata ที่กำหนดให้ จึงไม่มีการอินทิเกรต involvement แทนค่าฟังก์ชัน และ อนุพันธ์ลงในสมการและยืนยันว่าทั้งสองข้างเหมือนกันสำหรับทุก $x$ ไม่ใช่แค่ที่จุดเดียว ความตรงกันที่ $x$ จุดเดียวไม่เพียงพอ
ตรวจสอบว่า $y=x^2+C$ แก้ $\dfrac{dy}{dx}=2x$ ได้
- หาอนุพันธ์: $\dfrac{dy}{dx}=2x$ (ค่า $+C$ หายไป)
- สมการเชิงอนุพันธ์ระบุว่า $\dfrac{dy}{dx}=2x$
- ทั้งสองข้างเท่ากับ $2x$ ดังนั้น $y=x^2+C$ เป็นคำตอบสำหรับ ทุก ค่าคงที่ $C$ ✓
ในการตรวจสอบ คำตอบ ของสมการเชิงอนุพันธ์ ให้หาอนุพันธ์ของตัว candidata และ แทนค่า ลงในสมการ (พร้อมอนุพันธ์) มันจะเป็นคำตอบก็ต่อเมื่อทั้งสองข้าง เท่ากัน สำหรับทุก $x$ ไม่ต้องใช้การอินทิเกรต — การตรวจสอบคือการหาอนุพันธ์แล้วตรวจสอบ กลุ่มที่มีค่าคงที่ $C$ คือคำตอบทั่วไป