การวาดสนามความชัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| slope field/sləʊp fiːld/ | สนามความชัน |
แผนที่ความชันทั่วระนาบ
- สมการเชิงอนุพันธ์ $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ ให้ความ ความชัน ที่ทุกจุด
- วาดเส้นท่อนสั้นที่มีความชันนั้นที่แต่ละจุดบนตารางกริด จะได้ สนามความชัน
- มันเป็น "แผนที่" แสดงทิศทางที่เส้นคำตอบต้องเดินทางในทุกจุด
- คุณไม่ต้องแก้สมการเพื่อวาดมัน — เพียงคำนวณความชัน
สนามความชันสำหรับ dy/dx = ay
แต่ละขีดมีความชัน $\tfrac{dy}{dx}$ ที่จุดนั้น — แบนใกล้ $y=0$ และชันไกลออกไปสำหรับ $\tfrac{dy}{dx}=ay$
สนามความชันแสดง, ที่แต่ละจุด, ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แต่ละขีดคือทิศทางสัมผัสที่นั่น
ในการวาดสนามความชัน คุณคำนวณเฉพาะความชันเท่านั้น — คุณ ____ ต้องแก้สมการ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สมการให้ความชันโดยตรง
คำนวณความชันที่แต่ละจุด
- ที่จุดตาราง $(x,y)$ แทนลงใน $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ เพื่อรับตัวเลข — นั้นคือความชันของเส้นท่อน
- ความชัน $0$ → เส้นท่อนแนวนอน; บวกมาก → เส้นท่อนชันขึ้น; ลบ → ชันลง
- ทำซ้ำบนตาข่ายจุดเพื่อเติมเต็มสนาม
- สมการบอกความชันโดยตรง ไม่ต้องหาฟังก์ชันต้นฉบับ
สำหรับ $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, หาความชันของขีดที่จุด $(2,3)$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2+3=5$.
สำหรับ $\dfrac{dy}{dx}=xy$ ความชันที่ $(3,2)$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$xy=3\cdot2=6$ (ใช้พิกัดทั้งสอง)
จดจำรูปแบบอย่างรวดเร็ว
- ถ้า $F$ ขึ้นอยู่กับ $x$ เท่านั้น: ความชันจะเท่ากันตลอดแนวตั้ง (คอลัมน์ดูเหมือนเดิม)
- ถ้า $F$ ขึ้นอยู่กับ $y$ เท่านั้น: ความชันจะเท่ากันตลอดแนวนอน (แถวเหมือนเดิม)
- สำหรับ $\dfrac{dy}{dx}=y$: ความชันเพิ่มขึ้นตามความสูง — แบนใกล้ $y=0$, ชันไกลออกไป
- การจดจำรูปแบบเหล่านี้ช่วยให้วาดภาพได้เร็วขึ้นมาก
หาก $\dfrac{dy}{dx}$ ขึ้นอยู่กับ $x$ เพียงอย่างเดียว เส้นประในแต่ละคอลัมน์แนวตั้งจะขนานกัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่า $x$ เดียวกัน → ความชันลงตามคอลัมน์เท่ากัน
เส้นสมดุล
- ที่ซึ่ง $F(x,y)=0$, ความชันคือ $0$ — แถว (หรือเส้นโค้ง) ของเส้นท่อน แนวนอน
- สำหรับ $\dfrac{dy}{dx}=y$, สิ่งนี้จะเกิดขึ้นที่ $y=0$: แนวแนวนอนทั้งเส้นของส่วนท่อนแบน
- เส้นเหล่านี้มักบ่งบอกพฤติกรรม สมดุล — คำตอบอาจราบเรียบลงที่นี่
- จุดเหล่านี้เป็นจุดที่ง่ายที่สุดในการพล็อต ดังนั้นให้เริ่มจากจุดเหล่านี้ก่อน
สำหรับ $\dfrac{dy}{dx}=y$, ขีดเป็นแนวนอนตามเส้น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความชัน $=y=0$ ตาม $y=0$
สนามความชันแสดง ความชัน ของสมการเชิงอนุพันธ์ ไม่ใช่เส้นคำตอบเอง เส้นท่อนเล็ก ๆ คือ ทิศทางสัมผัส; คำตอบคือเส้นโค้งที่สัมผัสกับเส้นท่อนเหล่านี้ และคำนวณความชันด้วย $(x,y)$ ของจุด โดยใช้ $y$ ด้วยเมื่อ $F$ ขึ้นอยู่กับมัน — ไม่ใช่แค่ $x$
วาดความชันบางจุดสำหรับ $\dfrac{dy}{dx}=x$
- ที่ $(1,0)$: ความชัน $=1$. ที่ $(2,5)$: ความชัน $=2$. ที่ $(-1,3)$: ความชัน $=-1$
- เนื่องจาก $F=x$ (ไม่มี $y$), ทุกจุดในคอลัมน์แนวตั้งมีความชัน เท่ากัน
- คอลัมน์ของเส้นทอนขนาน: แบนที่ $x=0$, เอียงมากขึ้นเมื่อ $|x|$ เพิ่มขึ้น
สนามความชัน (slope field) จะวาดเส้นท่อนสั้นๆ ของความชัน $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ ที่แต่ละจุดบนตาราง — เป็นแผนที่แสดงทิศทางของเส้นสัมผัส โดยไม่ต้องหาคำตอบ คำนวณ ความชัน ที่แต่ละ $(x,y)$; หาแบบแผน (คอลัมน์เหมือนกันถ้า $F$ ขึ้นอยู่กับ $x$ เท่านั้น, แถวเหมือนกันถ้าขึ้นอยู่กับ $y$ เท่านั้น) และขีดแนวนอนเมื่อ $F=0$