การสร้างแบบจำลองสถานการณ์ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์

คำศัพท์

English	ความหมาย
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	สมการเชิงอนุพันธ์

สมการที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงเอง

กฎทางธรรมชาติจำนวนมากอธิบายไม่ใช่ปริมาณ แต่คือ ความเร็วของการเปลี่ยนแปลง
สมการเชิงอนุพันธ์ เชื่อมโยงฟังก์ชันกับ อนุพันธ์ ของมัน
"ประชากรเพิ่มขึ้นในอัตราส่วนกับขนาด" กลายเป็น $\dfrac{dP}{dt}=kP$
การแก้สมการจะคืนค่าฟังก์ชัน回来; หน่วยนี้เกี่ยวกับการเขียนและแก้สมการประเภทนี้

สำรวจ

สนามความชันของสมการอัตรา

สมการ $\tfrac{dy}{dt}=ky$ บอกว่าอัตราแปรผันตรงกับ $y$ — สนามความชันของมันแสดงการเติบโตที่มันจำลอง

ฝึกฝน

สมการเชิงอนุพันธ์เชื่อมโยงฟังก์ชันเข้ากับ...

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

ผกผัน
อนุพันธ์
ส่วนกลับ
โดเมน

แปลงคำศัพท์เป็นสมการอัตรา

คำว่า "อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $y$" คือ $\dfrac{dy}{dt}$ — ด้านซ้ายของสมการคุณ
"แปรผันตาม $y$" → $ky$; "แปรผันตามผลต่างจาก $M$" → $k(M-y)$.
จับคู่คำบรรยายภาษาอังกฤษของ อัตรา กับนิพจน์ใน $y$ (และอาจจะเป็น $t$)
โมเดลทั้งหมดคือ: (อัตราการเปลี่ยนแปลง) = (นิพจน์นั้น)

ฝึกฝน

"อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $y$ แปรผันตรงกับ $y$" กลายเป็น...

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$y=kt$
$\dfrac{dy}{dt}=ky$
$\dfrac{dy}{dt}=k$
$y=ky$

ฝึกฝน

น้ำไหลออกด้วยอัตราแปรผันตรงกับปริมาณ $W$. แบบจำลองคือ...

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$\dfrac{dW}{dt}=kW$ ($k>0$)
$\dfrac{dW}{dt}=-kW$ ($k>0$)
$W=-kt$
$\dfrac{dW}{dt}=k$

วลีการสร้างโมเดลทั่วไป

แปรผันตามปริมาณ: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — การเติบโต/การสลายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล
แปรผันตามปริมาณที่มีอยู่ และ เหลืออยู่: $\dfrac{dy}{dt}=ky(M-y)$ — แบบโลจิสติก
อัตราคงที่: $\dfrac{dy}{dt}=c$.
การอ่านคำบอกเล่าจะบอกคุณด้านขวาของสมการ

ฝึกฝน

จับคู่แต่ละวลีกับนิยามอัตรา

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

เลือกไม้จิ้มฟันหนึ่งอัน แล้วเลือกจุดหมายปลายทาง เลือกไม้จิ้มฟันสองอันเพื่อสลับกัน กด Escape เพื่อยกเลิกการเลือก คุณสามารถลากไม้จิ้มฟันได้

$ky$

$c$

$ky(M-y)$

proportional to $y$
constant rate
proportional to $y$ และ $(M-y)$

สมการเชิงอนุพันธ์มี ครอบครัว ของคำตอบ

ต่างจากสมการพีชคณิต (ตัวเลขonical واحد), สมการเชิงอนุพันธ์มีฟังก์ชันonical
คำตอบของมันมักจะเป็น ครอบครัว ของฟังก์ชัน (พร้อมค่าคงที่), ไม่ใช่คำตอบเดียว
สมาชิกเฉพาะจะถูกกำหนดในภายหลังโดยเงื่อนไขเริ่มต้น (บทเรียน 7.7)
สำหรับตอนนี้ วัตถุประสงค์คือการ เขียน สมการจากสถานการณ์

ฝึกฝน

$y=kt$ (ไม่มีอนุพันธ์) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

ฝึกฝน

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์มักจะเป็น ____ ของฟังก์ชัน, ไม่ใช่เพียงหนึ่งเดียว

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

Watch out

สมการเชิงอนุพันธ์เกี่ยวข้องกับ อนุพันธ์ — มันคือข้อความเกี่ยวกับ อัตรา, ไม่ใช่ปริมาณเอง "$y$ แปรผันตาม $t$" ($y=kt$) ไม่ใช่ สมการเชิงอนุพันธ์; "อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ $y$แปรผันตาม $y$" ($\frac{dy}{dt}=ky$) เป็น ดูหาคำว่า "อัตราการเปลี่ยนแปลง"

Example

"น้ำในถังระบายออกด้วยอัตราแปรผันตามปริมาณน้ำ $W$" เขียนโมเดล

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $W$: $\dfrac{dW}{dt}$.
แปรผันตาม $W$, และ ระบายออก (ลดลง) → $\dfrac{dW}{dt}=-kW$ (ด้วย $k>0$)
เครื่องหมายลบสื่อถึงการลดลงของระดับน้ำ

Key idea

สมการเชิงอนุพันธ์ เชื่อมโยงฟังก์ชันเข้ากับ อนุพันธ์ ของมัน — โดยเป็นโมเดลของ อัตราการเปลี่ยนแปลง แปลคำ: "อัตรา变化和ของ $y$" คือ $\frac{dy}{dt}$, "แปรผันตรงกับ $y$" คือ $ky$, และอื่นๆ คำตอบคือ กลุ่ม ฟังก์ชัน ซึ่งจะถูกกำหนดให้ชัดเจนขึ้นโดยเงื่อนไขเริ่มต้นในภายหลัง