การเลือกเทคนิคสำหรับการหา.inverse differentiation
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| antidifferentiation/ˌæntɪˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | การหาฟังก์ชันต้นแบบ |
เครื่องมือฟังก์ชันผกผันแบบไหนที่เหมาะสม?
- ตอนนี้คุณมีหลายวิธีในการอินทิเกรต — ทักษะคือการเลือก เทคนิคที่ถูกต้อง อย่างรวดเร็ว
- การหาฟังก์ชันผกผัน ไม่มีอัลกอริทึมเดียว ดังนั้นคุณต้องอ่านโครงสร้างของตัวอินทิเกรต
- การคัดกรองเบื้องต้นชี้คุณไปสู่กฎพื้นฐาน, การแทนที่, หรือการเขียน ulangเชิงพีชคณิต
- บทเรียนนี้คือคู่มือการตัดสินใจที่เชื่อมโยงวิธีการอินทิเกรตเข้าด้วยกัน
อ่านฟังก์ชันภายใน, เลือกวิธีการ
y = ax³ + bx
whether an integrand is a plain power, a composite, or an improper fraction decides which antiderivative tool to use.
ขั้นแรก: มีกฎพื้นฐานที่เข้าได้โดยตรงหรือไม่?
- ตัวอินทิเกรตเป็นเลขยกกำลัง, หรืออยู่ในรูปแบบมาตรฐานใดรูปแบบหนึ่ง ($\sin, \cos, e^x, \tfrac1x$)?
- หากใช่ ให้ใช้ กฎพื้นฐาน แล้วบวก $+C$ — ไม่ต้องใช้เล่ห์เหลี่ยม
- $\displaystyle\int (x^3+\cos x)\,dx$ คือเพียงฟังก์ชันผกผันพื้นฐานทีละพจน์
- ต้องลองสิ่งนี้ก่อน; เป็นเส้นทางที่เร็วที่สุด
วิธีที่เร็วที่สุดสำหรับ $\int (3x^2+e^x)\,dx$ คืออะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทั้งสองพจน์เป็น inverse differentiation มาตรฐาน → กฎพื้นฐาน
ต่อไป: มีฟังก์ชันภายในพร้อมอนุพันธ์ของมันหรือไม่?
- จับคู่ ฟังก์ชันประกอบ ที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในอยู่ → u-substitution
- $\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx$: ฟังก์ชันภายใน $u=x^2$, และ $2x\,dx=du$ อยู่ตรงนั้นเลย
- ถ้า $du$ ผิดไปจากค่าคงที่ ให้ปรับ; ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในหายไปจริงๆ u-sub จะช่วยไม่ได้
- สิ่งนี้จัดการกับกลุ่มใหญ่ของตัวอินทิเกรตที่มีรูปร่างเหมือน chain-rule
อินทิกรัลใดทำได้ดีที่สุดด้วยการแทนตัวแปร u?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันประกอบที่มีอนุพันธ์ภายใน ($u=x^2+1$, $du=2x\,dx$) → แทนตัวแปร u
เลือก ทุก สัญญาณวิธีการที่ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
การแทนตัวแปร u ไม่ใช่วิธี万能 — จับคู่วิธีการกับโครงสร้าง
มิฉะนั้น: เขียน ulangพีชคณิตก่อน
- ไม่มีกฎพื้นฐานและไม่มี u-sub ที่สะอาด? เขียน ulang ตัวอินทิเกรต
- เศษส่วนไม่proper → การหารยาว; ตัวส่วนพหุนามกำลังสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้ → ทำกำลังสองสมบูรณ์
- ขยายผลคูณ, แยกเศษส่วนออกเป็นพจน์แยกต่างหาก, หรือทำให้เรียบง่าย — แล้วทำการคัดกรองอีกครั้ง
- หลังจากการเขียน ulang กฎพื้นฐานหรือ u-sub มักจะfinish
ขั้นตอนแรกสำหรับ $\int\dfrac{x^2}{x-1}\,dx$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ดีกรีของตัวเศษ ≥ ดีกรีของตัวส่วน → หารก่อน
คุณสามารถตรวจสอบ inverse differentiation ใดๆ ได้โดยการหาอนุพันธ์กลับไปยังฟังก์ชันภายใน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การหาอนุพันธ์คำตอบของคุณควรให้ผลลัพธ์เป็น $f$
เรียงลำดับเทคนิคจากอันดับแรกไป-last เพื่อลองใช้
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
กฎพื้นฐาน, จากนั้นแทนตัวแปร u, จากนั้นจัดรูปใหม่
อย่ารีบใช้เทคนิคที่ซับซ้อนก่อนตรวจสอบวิธีที่ง่าย ลองใช้ กฎพื้นฐาน ก่อน, แล้ว u-substitution, และเฉพาะเมื่อจำเป็นจึงใช้ การเขียน ulangเชิงพีชคณิต และยืนยันทุกฟังก์ชันผกผันโดยการหาอนุพันธ์กลับไปยังตัวอินทิเกรต — นั่นจะจับข้อผิดพลาดส่วนใหญ่ได้ทันที
เลือกวิธีการสำหรับแต่ละข้อ, แล้วบันทึกขั้นตอนแรก:
- $\displaystyle\int (3x^2 + e^x)\,dx$: กฎพื้นฐาน → $x^3+e^x+C$.
- $\displaystyle\int x\,\sqrt{x^2+1}\,dx$: u-sub ($u=x^2+1$, $du=2x\,dx$).
- $\displaystyle\int \dfrac{x^2}{x-1}\,dx$: การหารยาว ก่อน (เศษส่วนไม่proper).
การเลือก เทคนิคการหาฟังก์ชันผกผัน: ลองใช้ กฎพื้นฐาน ก่อน; ถ้าตัวอินทิเกรตเป็น ฟังก์ชันประกอบที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน, ใช้ u-substitution; มิฉะนั้น เขียน ulang พีชคณิต (การหารยาว / ทำกำลังสองสมบูรณ์ / ขยาย) และทำการคัดกรองอีกครั้ง ต้องยืนยันด้วยการหาอนุพันธ์คำตอบของคุณเสมอ