การประเมินผลบวกที่ไม่ปกติ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | อินทิกรัลไม่ปกติ |
| infinite limit/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪt/ | ลิมิตอนันต์ |
| unbounded integrand/ʌnˈbaʊndɪd ˈɪntɪɡrænd/ | ฟังก์ชันที่อินทิเกรตไม่มีขอบเขต |
การอินทิเกรตเหนืออนันต์ (หรือแบบไม่มีขอบเขต)
- Indefinite integral ปกติมี limits有限และ integrand finite. An improper integral ฝ่าฝืนอย่างใดอย่างหนึ่ง
- วิธีที่สองที่ทำให้เป็นอินทิกรัลไม่ Proper คือ ขอบเขตอินทิกรัลที่เป็นอนันต์ (เช่น $\int_1^\infty$) หรือ ฟังก์ชันที่อินทิเกรตที่ไม่มีขอบเขต ( asymptote แนวตั้งภายในช่วง)
- เราไม่สามารถ "แทนค่า $\infty$" หรือคำนวณที่จุดที่ blow-up ได้เลย ดังนั้นเราจึงต้องใช้ ลิมิต
- อินทิกรัลจะลู่เข้า (converge) ถ้าลิมิตนั้นเป็นจำนวน有限的 Finite และลู่แยก (diverge) ในกรณีอื่น
ผลบวกจะ上不ปกติเมื่อ...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ขอบเขตอนันต์หรือฟังก์ชัน要被อินทิเกรตไม่จำกัด →上不正常
คุณสามารถประเมินผลบวก上不ปกติโดยการแทนค่า $\infty$ โดยตรงลงในฟังก์ชันต้นแบบ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คุณต้องใช้ลิมิตแทน
ขอบเขตที่เป็นอนันต์ → ลิมิต
- แทนที่ขอบเขตอนันต์ด้วยตัวแปร ทำอินทิกรัล แล้วให้มันวิ่งไปหาอนันต์:
-
$$\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$
- คำนวณอินทิกรัลธรรมดาจนถึง $b$ จากนั้นหาลิมิตเมื่อ $b\to\infty$
- ถ้าลิมิต是有限的 Finite อินทิกรัลไม่ Proper จะ ลู่เข้า ไปยังค่านั้น
หางอนันต์ใต้ 1/x²
y = 1/x²
พื้นที่ใต้ $1/x^2$ จาก $1$ ถึง $\infty$ มีค่าจำกัด ($=1$) แม้ว่าจะไม่มีเขตจบ — เป็นผลบวกที่ไม่ปกติที่ลู่เข้า
$\displaystyle\int_a^\infty f\,dx$ ถูกนิยามว่า...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันเป็นลิมิตของผลบวกที่ถูกต้อง
ฟังก์ชันที่อินทิเกรตที่ไม่มีขอบเขต → ลิมิตที่จุดปัญหา
- ถ้า $f$ blow-up ที่ปลายช่วง $c$ ให้ใช้ลิมิตในการเข้าใกล้แทนการคำนวณที่จุดนั้น:
- $\displaystyle\int_a^c f\,dx=\lim_{t\to c^-}\int_a^t f\,dx$ (และในทำนองเดียวกันจากอีกด้าน)
- $\int_0^1 \tfrac{1}{\sqrt x}\,dx$ เป็น improper ที่ $0$ — ให้ใช้ $\lim_{t\to0^+}\int_t^1$
- หลักการเดียวกัน: เข้าใกล้จุด singularity ด้วยลิมิต
หาค่า $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\lim_{b\to\infty}(1-\tfrac1b)=1$.
ลู่เข้าหรือลู่แยก
- ลู่เข้า: ลิมิตเป็นจำนวน有限的 Finite — จำนวนนั้นคือค่าของอินทิกรัล
- ลู่แยก: ลิมิตเป็นอนันต์หรือไม่มีการมีอยู่ — อินทิกรัลไม่มีค่า有限的 Finite
- คู่ที่มีชื่อเสียง: $\int_1^\infty\tfrac{1}{x}\,dx$ ลู่แยก, แต่ $\int_1^\infty\tfrac{1}{x^2}\,dx$ ลู่เข้า (ไปยัง $1$)
- ความแตกต่าง — ฟังก์ชันที่ดูคล้ายกันแต่ชะตากรรมตรงข้าม — นี่คือหัวใจสำคัญ
อะไรเกิดขึ้นกับ $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x}\,dx$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ → ลู่ออก
ผลบวก上不ปกติจะลู่เข้าหากลิมิตที่กำหนด它有จำนวนจำกัด
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลิมิตจำกัด → ลู่เข้า
คุณ ไม่สามารถ จัดการกับอินทิกรัลไม่ Proper เหมือนอินทิกรัลปกติได้ — การแทนค่า $\infty$ หรือจุด blow-up นั้นไร้ความหมาย ต้องเขียนใหม่เป็น ลิมิต เสมอและหาค่าลิมิตนั้น และระวัง singularity ภายใน: หากฟังก์ชันที่อินทิเกรต blow-up ภายใน $[a,b]$ ให้แบ่งอินทิกรัลที่จุดนั้นและจัดการแต่ละส่วนแยกต่างหาก
หาค่า $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$
- เขียนใหม่: $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\Big[-\tfrac1x\Big]_1^b$
- $=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\Big(-\tfrac1b+1\Big)=0+1=1$.
- ลิมิต是有限的 Finite ดังนั้นอินทิกรัลจึง ลู่เข้า ไปยัง $1$
อินทิกรัลไม่ Proper มี ขอบเขตที่เป็นอนันต์ หรือ ฟังก์ชันที่อินทิเกรตที่ไม่มีขอบเขต เขียนใหม่เป็น ลิมิต ของอินทิกรัล Proper: $\int_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f$ (หรือลิมิตที่เข้าใกล้ singularity) มันจะ ลู่เข้า ถ้าลิมิต是有限的 Finite และ ลู่แยก ในกรณีอื่น