การหาผลบวกโดยใช้เศษส่วนย่อยเชิงเส้น
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | เศษส่วนย่อย |
| linear factor/ˈlɪnɪə ˈfæktə/ | ตัวประกอบเชิงเส้น |
แยกเศษส่วนที่ยากหนึ่งตัวออกเป็นเศษส่วนง่ายๆ หลายตัว
- ฟังก์ชัน rationals บางตัวไม่สามารถอินทิเกรตโดยตรงได้, แต่ แยกออกจากกัน แล้วจะกลายเป็น log ง่ายๆ
- Partial fractions เขียนเศษหนึ่งตัวเป็น ผลบวก ของเศษส่วนเล็กๆ
- แต่ละส่วนมี linear factor เดียวใน denominator — ง่ายต่อการอินทิเกรตในฐานะ $\ln$
- มันคือการย้อนกลับของการเพิ่มเศษส่วนบน common denominator
ตั้งค่าการแยกส่วน
- เริ่มต้นด้วย rational function ที่มี denominator แยกตัวประกอบเป็น distinct linear factors
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ สำหรับ constants $A,B$ ที่ต้องหา
- แต่ละ distinct linear factor $(x-r)$ มี term $\dfrac{\text{constant}}{x-r}$ ของตัวเอง
- (numerator degree ต้อง น้อยกว่า denominator degree —หารยาวก่อนถ้าไม่)
ฟังก์ชันตรรกยะที่ต้องการแยก
y = a / (x − b)
เศษส่วนเหนือ $(x-1)(x+2)$ มีแนว asimptote ลึกสองเส้น; เศษส่วนย่อยแยกมันออกเป็นสองส่วน $\ln$ ที่เรียบง่าย
รูปแบบเศษส่วนย่อยของ $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่าคงที่หนึ่งต่อแต่ละปัจจัยเชิงเส้นที่แตกต่างกัน
หากดีกรีของตัวเศษไม่ต่ำกว่าดีกรีของตัวส่วน คุณต้องหารก่อน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เศษส่วนย่อยต้องใช้เศษส่วนที่ถูกต้อง
บทเรียนนี้จัดการกับตัวส่วนที่แยกเป็นปัจจัย ____ ที่แตกต่างกัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ปัจจัยเชิงเส้นที่แตกต่างกัน $(x-r)$
แก้หาค่าคงที่
- คูณทั้งสองข้างด้วย common denominator เพื่อล้างเศษส่วน
- แล้วหา $A,B$ โดยการจับคู่ coefficients หรือ โดยใส่ราก (ทางลัดที่รวดเร็ว)
- สำหรับ $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$: ที่ $x=1$, $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$; ที่ $x=-2$, $1=B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13$
- ตอนนี้อินทิกรัลเป็นผลบวกของชิ้นส่วนที่เรียบง่าย
สำหรับ $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$, หา $A$ (แทนค่า $x=1$).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ที่ $x=1$: $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$
อินทิเกรตชิ้นส่วน
- แต่ละ $\dfrac{A}{x-r}$ อินทิเกรตได้ $A\ln|x-r|$
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx=\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C$.
- ดังนั้น rational integral ที่ยุ่งเหยิงจึงกลายเป็น combination ของ logarithms
- รวมหรือทิ้ง log ไว้ตามคำตอบที่ต้องการ
แต่ละส่วนของเศษส่วนย่อย $\dfrac{A}{x-r}$ จะอินทิเกรตได้...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac{A}{x-r}\,dx=A\ln|x-r|$.
$\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$ (พร้อม $A=1$, $B=-1$) เท่ากับ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อินทิเกรต $\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}$.
Partial fractions ต้องการ numerator degree น้อยกว่า denominator — ถ้าไม่, ทำ long division ก่อน และต้องการให้ denominator มีตัวประกอบเป็น linear จริงๆ; ตัวประกอบซ้ำ $(x-r)^2$ หรือ quadratic ที่แยกตัวประกอบไม่ได้ต้องการ terms เพิ่มเติม (นอกเหนือจากกรณี distinct linear ในบทเรียนนี้) แต่ละ distinct factor ได้ constant Exactly หนึ่งตัว
หาค่า $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$
- Decompose: $\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+4}$. ที่ $x=1$: $5=5A\Rightarrow A=1$; ที่ $x=-4$: $5=-5B\Rightarrow B=-1$
- $\displaystyle\int\Big(\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}\Big)\,dx=\ln|x-1|-\ln|x+4|+C$.
Partial fractions แยก rational function ที่มี distinct linear factors ออกเป็นผลบวก $\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}+\cdots$; หาค่าคงที่ (match coefficients หรือใส่ราก), แล้วอินทิเกรตแต่ละชิ้นให้เป็น $\ln$. ต้องการ numerator degree $<$ denominator degree — หารยาวก่อน มิฉะนั้น