การหาผลบวกโดยการใช้การอินทิเกรตแบบแยกส่วน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | การอินทิเกรตด้วยการหาส่วนประกอบ |
กฎผลคูณ, ทำย้อนกลับ
- กฎลูกโซ่ทำย้อนกลับ gave u-substitution. อะไรที่ทำให้ กฎผลคูณ ย้อนกลับ? การอินทิเกรตด้วยส่วนประกอบ
- มันจัดการอินทิกรัลของ ผลคูณ ที่ substitution แก้ไม่ได้ — เช่น $\int x e^x\,dx$
- เทคนิค: สwap อินทิกรัลที่ยากให้เป็นインทิग्रัลที่ง่ายขึ้นโดยการย้าย derivative จากตัวประกอบหนึ่งไปยังอีกตัวประกอบหนึ่ง
- มันเป็นเครื่องจักรหลักของ BC สำหรับผลคูณของฟังก์ชันต่างชนิดกัน
การอินทิเกรตแบบแยกส่วนเป็นผล역ของกฎใด?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันundo กฎผลคูณ
สูตร
- จากกฎผลคูณ, เมื่ออินทิเกรต:
-
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$
- คุณเลือกส่วนของอินทิกรานด์ให้เป็น $u$ (ซึ่งคุณจะทำ differentiate) และส่วนที่เหลือให้เป็น $dv$ (ซึ่งคุณจะทำ integrate)
- แล้ว $du=u'\,dx$ และ $v=\int dv$, และคุณประกอบ $uv-\int v\,du$
ผลคูณที่ต้องการหาผลบวก
y = a·e^{bx}
การอินทิเกรตโดยส่วนแทนที่ $\int x e^x$ ด้วย $\int e^x$ ที่ง่ายขึ้น — ย้ายอนุพันธ์ออกจากพจน์พีชคณิต
สูตรการอินทิเกรตแบบแยกส่วนคือ $\int u\,dv=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (ระวังเครื่องหมายลบ)
เลือก $u$ และ $dv$ อย่างชาญฉลาด
- พยายามทำให้ อินทิกรัลใหม่ $\int v\,du$ ง่ายขึ้น เดิม
- ความสำคัญที่เป็นประโยชน์สำหรับ $u$ (LIATE): Logarithm, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exponential — เลือก $u$ จากต้นรายการนี้
- ดังนั้นใน $\int x e^x\,dx$: $u=x$ (algebraic) และ $dv=e^x\,dx$
- การเลือกที่ดีจะทำให้ปัญหาลดทอนลง; การเลือกที่ไม่ดีจะทำให้แย่ลง
สำหรับ $\int x e^x\,dx$, การเลือกที่เหมาะสมคือ $u=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตาม LIATE, ตัวประกอบพีชคณิต $x$ คือ $u$; $dv=e^x\,dx$.
คำท่องจำทั่วไปสำหรับการเลือก $u$ คือ ____ (L-I-A-T-E).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลอการิทึม, ฟังก์ชันตรีโกณมิติย้อนกลับ, พีชคณิต, ตรีโกณมิติ, เอ็กซ์โพเนนเชียล
คุณควรเลือก $u$ และ $dv$ เพื่อให้ผลบวกใหม่ $\int v\,du$ ง่ายกว่าต้นฉบับ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
นั่นคือจุดประสงค์ของการเลือก
บางครั้งทำซ้ำ บางครั้งวนลูป
- ถ้า $\int v\,du$ ยังเป็น product, ใช้ integration by parts อีกครั้ง
- สำหรับ $\int x^2 e^x\,dx$ คุณจะ menggunakannya สองครั้ง, ลอก power ของ $x$ ออกทีละครั้ง
- อินทิกรัลบางตัว (อย่าง $\int e^x\sin x\,dx$) วนลูป กลับไปหาเดิม — แก้ด้วยพีชคณิตเพื่อหามัน
- เก็บ $u,du,v,dv$ ไว้ให้เรียบร้อยเพื่อหลีกเลี่ยงความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย
$\displaystyle\int x e^x\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C$.
เลือก $u$ และ $dv$ เพื่อให้ $\int v\,du$ ง่ายขึ้น — การเลือกที่ผิดอาจทำให้ยากขึ้นหรือพาคุณวนลูป อย่าลืม เครื่องหมายลบ: สูตรคือ $uv-\int v\,du$. และ $v$ คือ antiderivative ใดๆ ของ $dv$ (ทิ้ง $+C$ ของมันไว้จนจบของ definite/indefinite result)
หาค่า $\displaystyle\int x e^x\,dx$
- ให้ $u=x$, $dv=e^x\,dx$. แล้ว $du=dx$, $v=e^x$
- $\displaystyle\int x e^x\,dx = uv-\int v\,du = x e^x - \int e^x\,dx$.
- $= x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C$.
Integration by parts ย้อนกลับ กฎผลคูณ: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$. เลือก $u$ (เพื่อ differentiate) และ $dv$ (เพื่อ integrate) — ผ่าน LIATE — เพื่อให้ $\int v\,du$ ง่ายขึ้น ระวังเครื่องหมายลบ, และนำไปใช้ซ้ำ (หรือแก้ loop) เมื่อจำเป็น