การอินทิเกรตฟังก์ชันโดยใช้การหารยาวและการเติมกำลังสองสมบูรณ์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | การหารยาวพหุนาม |
เขียนใหม่ก่อน แล้วค่อยอินทิเกรต
- บางฟังก์ชันเศษส่วนไม่ตรงกับอินทิกรalย้อนกลับพื้นฐาน — จนกว่าคุณจะ เขียนใหม่它们吧 (rewrite them).
- เครื่องมือพีชคณิตสองตัวเตรียมตัวถูกอินทิเกรตที่ดื้อรั้น: การหารยาว และ การเติมเต็มกำลังสอง
- ทั้งสองไม่ใช่แคลคูลัส; ทั้งสองแค่จัดรูปเศษส่วนให้ง่ายขึ้น
- จากนั้นกฎพื้นฐานหรืออินทิกรalที่รู้จักจะfinish the job
การหารยาวสำหรับเศษส่วนที่มี "ตัวเศษสูง" (top-heavy)
- ถ้าดีกรีของตัวเศษเป็น $\ge$ ดีกรีของตัวส่วน, เศษ部分是 improper
- ใช้ การหารยาวพหุนาม เพื่อแยกมันออกเป็นพหุนามบวกเศษส่วนproper
- $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ — ตอนนี้แต่ละส่วนอินทิเกรตได้ง่าย
- $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
เส้นโค้งเศษส่วนเพื่อจัดรูปใหม่
y = a / (x − b)
เศษส่วนไม่ Proper เช่น $\tfrac{x^2}{x+1}$ จะกลายเป็นเส้นตรงบวกเศษเล็กน้อย — แต่ละส่วนอินทิเกรตได้ง่าย
ใช้การหารยาวพหุนามเมื่อดีกรีของตัวเศษเป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เศษส่วนไม่ Proper (ตัวเศษใหญ่กว่าตัวส่วน) ต้องการการหาร
การหารยาวให้ $\dfrac{x^2}{x+1}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x^2=(x+1)(x-1)+1$ ดังนั้นผลหารคือ $x-1$ เศษคือ $1$
การเติมเต็มกำลังสองสำหรับรูปแบบ inverse-trig
- ตัวส่วนอย่าง $x^2+4x+5$ ซ่อน perfect square: เติมเต็มกำลังสอง เป็น $(x+2)^2+1$.
- รูปร่าง $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ นี้ตรงกับฟังก์ชันผกผันของ arctangent
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+4x+5}\,dx=\int\dfrac{1}{(x+2)^2+1}\,dx=\arctan(x+2)+C$.
- การทำกำลังสองสมบูรณ์จะเปลี่ยนตัวส่วนพหุนามที่ยุ่งเหยิงให้อยู่ในรูปแบบ $u^2+a^2$ ที่ชัดเจนขึ้น
การเติมกำลังสองสมบูรณ์, $x^2+4x+5=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(x+2)^2=x^2+4x+4$, ดังนั้น $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$.
รูปแบบ $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ อินทิเกรตได้เป็นฟังก์ชัน ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac{1}{u^2+1}\,du=\arctan u+C$.
ระบุสัญญาณของสัญญาณ
- ดีกรีของเศษ $\ge$ ดีกรีของส่วน → ให้ใช้ การหารยาว ก่อนเป็นอันดับแรก
- ตัวส่วนพหุนามกำลังสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้ (ไม่มีรากจริง) → ลองใช้ การทำกำลังสองสมบูรณ์ เพื่อไปสู่รูป arctan
- ขั้นตอนเหล่านี้คือ การจัดเตรียม; การอินทิเกรตจริงจะเป็นกฎพื้นฐานหรือ u-substitution afterwards
- การสังเกตว่าควรใช้การเขียนใหม่แบบใด一半ของสงคราม
$\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หารก่อน แล้วจึงอินทิเกรต $x-1+\tfrac1{x+1}$
จับคู่สัญญาณกับการจัดรูป: เลือก ทุก คู่ที่ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
การหารยาวใช้เฉพาะสำหรับเศษส่วนไม่ Proper; ทั้งสองเป็นการจัดรูปก่อนอินทิเกรต
ทำ การหารยาวก็ต่อเมื่อเศษส่วนไม่proper (ดีกรีของเศษ $\ge$ ดีกรีของส่วน) — การหารเศษส่วนproperจะไม่พาคุณไปไหน และหลังจาก การทำกำลังสองสมบูรณ์ ให้คงค่าคงที่ไว้ให้ถูกต้อง: $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$, ไม่ใช่ $(x+2)^2+5$. ค่าคงที่ที่ผิดจะทำให้การจับคู่ arctanล้มเหลว
อินทิเกรต $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx$.
- การหารยาว: $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$.
- อินทิเกรตทีละพจน์: $\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
- (แต่ละพจน์ที่ถูกเขียนใหม่ใช้กฎฟังก์ชันผกผันพื้นฐาน)
เมื่อตัวอินทิเกรตที่เป็นเศษส่วน рационаลเข้าข่ายกับกฎพื้นฐานไม่ได้ ให้ เขียนใหม่ ก่อน: ใช้ การหารยาวพหุนาม สำหรับเศษส่วนไม่proper (ดีกรีของเศษ $\ge$ ดีกรีของส่วน), หรือ ทำกำลังสองสมบูรณ์ ในตัวส่วนพหุนามกำลังสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้เพื่อให้ได้รูปแบบ arctangent จากนั้นจึงเสร็จสิ้นด้วยฟังก์ชันผกผันพื้นฐาน