ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสและอินทิกรัลจำกัด
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | ฟังก์ชันต้นแบบ |
คำนวณพื้นที่โดยไม่บวกสี่เหลี่ยมผืนผ้า
- ผลรวมรีมันน์ให้ แนวคิด ของอินทิกรัลจำกัด แต่การบวกสี่เหลี่ยมผืนผ้าจำนวนนับไม่ถ้วนเป็นเรื่องที่ไม่ปฏิบัติได้จริง
- ส่วนที่สองของทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส ให้ทางลัด
- หา อนันต์อินทิกรัล $F$ (ฟังก์ชัน whose derivative คือ $f$), แล้วลบค่าที่ขีดจำกัด
- การอินทิเกรตกลายเป็น "แก้โจทย์อนุพันธ์ แล้วแทนค่าสองตัวเลข"
ฟังก์ชัน $F$ ที่มี $F'=f$ เรียกว่า ____ ของ $f$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
FTC ส่วนที่ 2 คำนวณฟังก์ชันต้นแบบที่ขอบเขต
ทฤษฎีบทการแทนค่า
- ถ้า $F'=f$ (ดังนั้น $F$ เป็นอนันต์อินทิกรัลของ $f$), แล้ว:
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
- คำนวณ $F$, แทนค่าที่ขีดจำกัดบนและขีดจำกัดล่าง แล้วลบกัน
- พื้นที่ที่มีเครื่องหมายที่แน่นอนจะถูกหาค่าออกมา — ไม่ต้องใช้สี่เหลี่ยมผืนผ้า ไม่ต้องหาขีดจำกัดของผลรวม
พื้นที่ที่แท้จริง คำนวณได้
y = x²
FTC ส่วนที่ 2 เปลี่ยนพื้นที่ทึบสีนี้เป็น $F(2)-F(0)$ — ซึ่งเป็นฟังก์ชันต้นแบบที่คำนวณที่ขอบเขต
FTC ส่วนที่ 2 กล่าวว่า $\int_a^b f\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คำนวณฟังก์ชันต้นแบบที่ขอบเขตบนลบด้วยขอบเขตล่าง
สัญลักษณ์แถบการแทนค่า
- วิธีที่ gọn gàngเพื่อแสดงกระบวนการแทนค่าสองขั้นตอน: $\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b)-F(a)$
- เขียนอนันต์อินทิกรัลในวงเล็บพร้อมขีดจำกัด แล้วลบ "บนลบล่าง"
- รักษาลำดับ: ค่าขีดจำกัดบนลบค่าขีดจำกัดล่าง
- การสลับลำดับจะทำให้เครื่องหมายเปลี่ยน (สอดคล้องกับสมบัติการสลับขีดจำกัด)
คำนวณ $\int_0^2 x^2\,dx$ โดยใช้ $F(x)=\tfrac{x^3}{3}$. (ใส่คำตอบเป็นทศนิยม)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{8}{3}-0=\tfrac83\approx2.667$.
การคำนวณ $F(a)-F(b)$ แทนที่จะเป็น $F(b)-F(a)$ ให้ค่าที่ถูกต้อง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สิ่งนี้จะเปลี่ยนเครื่องหมาย — ใช้ขอบเขตบนลบด้วยขอบเขตล่าง
คำนวณ $\int_1^3 2x\,dx$ โดยใช้ $F(x)=x^2$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$F(3)-F(1)=9-1=8$.
อนันต์อินทิกรัลตัวใดก็ได้ใช้ได้
- ถ้า $F$ เป็นอนันต์อินทิกรัลตัวหนึ่ง, $F+C$ ก็เป็นอนันต์อินทิกรัลสำหรับค่าคงที่ใดๆ — แต่ $+C$ จะ หักล้าง กันใน $F(b)-F(a)$
- ดังนั้นสำหรับการหาอินทิกรัลจำกัด คุณสามารถเลือกอนันต์อินทิกรัลที่ง่ายที่สุดและมองข้าม $+C$
- (ค่าคงที่นี้มีความสำคัญเฉพาะใน อินทิกรัลไม่จำกัด เท่านั้น, บทเรียน 6.8.)
- ตรวจสอบโดยหาอนุพันธ์ของ $F$: คุณจะได้ $f$ กลับมา.
สำหรับอินทิกรัลจำกัด, ค่าคงที่ $+C$ ของฟังก์ชันต้นแบบ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$.
คุณต้องใช้ อินทิกรัลย้อนกลับ ที่แท้จริง ($F'=f$) แล้วคำนวณ $F(b)-F(a)$ ตามลำดับนั้น การสลับไปใช้ $F(a)-F(b)$ จะทำให้เครื่องหมายเปลี่ยน знак ค่า $+C$ จะตัดกันในอินทิกรัลจำกัดขอบเขต ดังนั้นไม่ต้องกังวลกับมันในที่นี้ — แต่ต้องตรวจสอบ $F'=f$ มิฉะนั้นคำตอบทั้งหมดจะผิด
หาค่า $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$
- อินทิกรัลย้อนกลับของ $x^2$ คือ $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ (เนื่องจาก $F'=x^2$).
- $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = \tfrac{2^3}{3}-\tfrac{0^3}{3}=\tfrac{8}{3}$.
- สิ่งนี้ยืนยันการประมาณค่า Riemann-sum ล่วงหน้าของ $\approx2.67$.
FTC ส่วนที่ 2: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$, โดยที่ $F$ เป็น อินทิกรัลย้อนกลับ ใดๆ ของ $f$ ($F'=f$). หา $F$, แทนค่าที่ขอบเขตบนลบด้วยขอบเขตล่าง ค่า $+C$ จะตัดกัน ดังนั้นอินทิกรัลย้อนกลับตัวไหนก็ใช้ได้ — ซึ่งเปลี่ยนเรื่องพื้นที่ให้เป็นเพียงการคำนวณทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน