การหาค่าฟังก์ชันต้นแบบและอินทิกรัลไม่จำกัด: กฎพื้นฐานและการเขียนสัญลักษณ์

คำศัพท์

English	ความหมาย
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	อินทิกรัลไม่จำกัด
constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/	ค่าคงที่ของอินทิกรัล

การหาอนุพันธ์ย้อนกลับ

FTC ส่วนที่ 2 ต้องการอินทิกรัลย้อนกลับ — ดังนั้น让我们来เรียนรู้วิธีการ ค้นหา它们吧 (Let's learn to find them).
อินทิกรัลย้อนกลับ ของ $f$ คือฟังก์ชันใด ๆ ที่มีอนุพันธ์เป็น $f$; กลุ่มทั้งหมดนี้เรียกว่า อินทิกรัลไม่จำกัด
$\displaystyle\int f(x)\,dx$ (ไม่มีขอบเขต) หมายถึง "อินทิกรัลย้อนกลับทั่วไปของ $f$."
กฎการหาอนุพันธ์ทุกข้อ เมื่ออ่านย้อนกลับ จะกลายเป็นกฎการอินทิเกรต

กฎกำลังสองสำหรับการอินทิเกรต

กลับกระบวนการหาเลขชี้กำลัง: เพิ่มเลขชี้กำลังหนึ่ง แล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$
ตรวจสอบ: การหาอนุพันธ์ของ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ให้ $x^n$. ✓
(กรณี $n=-1$ เป็นกรณีพิเศษ: $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$.)

ฝึกฝน

ค่าของ $\displaystyle\int x^3\,dx$ คืออะไร?

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$3x^2+C$
$\dfrac{x^4}{4}+C$
$x^4+C$
$\dfrac{x^2}{2}+C$

ฝึกฝน

กฎเลขชี้กำลังใช้ไม่ได้กับ $n=-1$. $\displaystyle\int x^{-1}\,dx$ คืออะไร?

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$\dfrac{x^0}{0}+C$
$\ln|x|+C$
$-x^{-2}+C$
$0$

อย่าลืม $+C$

เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่คือ $0$, ค่าคงที่ ใด ๆ สามารถเพิ่มได้ — ดังนั้นอินทิกรัลย้อนกลับจึงเป็น กลุ่ม
เสมอให้เติม ค่าคงที่ของการอินทิเกรต $+C$ เข้าไปในอินทิกรัลไม่จำกัด
หากไม่มีขอบเขต ก็ไม่สามารถระบุได้ว่าค่าคงที่ตัวไหนเป็นคำตอบ ดังนั้น $+C$ จึงยังคงอยู่
(ใน อินทิกรัลจำกัดขอบเขต ค่า $+C$ จะตัดกัน — นั่นคือความแตกต่าง)

สำรวจ

ครอบครัวที่ถูกเลื่อนขึ้น +C

y = ax³ + d

ฟังก์ชันต้นแบบทั้งหมดของ $f$ แตกต่างกันเพียงการเลื่อนแนวตั้ง $+C$ — มีความชันเท่ากันทุกที่

ฝึกฝน

อินทิกรัลไม่จำกัดควรรวมค่าคงที่ของการอินทิเกรต $+C$

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

อินทิกรัลย้อนกลับมาตรฐาน

ย้อนกลับอนุพันธ์พื้นฐานที่คุณรู้จัก:
$\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$; $\;\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.
$\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$; $\;\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$.
รวมกับ ความเป็นเชิงเส้น เพื่ออินทิเกรตพหุนามหรือผลบวกใด ๆ โดยแยกทีละพจน์

ฝึกฝน

ค่าของ $\displaystyle\int \sin x\,dx$ คืออะไร?

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$\cos x+C$
$-\cos x+C$
$\sin x+C$
$-\sin x+C$

ฝึกฝน

หาค่า $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx$

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$2x^3-2x^2+5x+C$
$12x-4+C$
$2x^3-2x^2+5x$
$6x^3-4x^2+5x+C$

ฝึกฝน

เลือก ทุก ฟังก์ชันต้นแบบที่ถูกต้อง

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

$\int\cos x\,dx=\sin x+C$
$\int e^x\,dx=e^x+C$
$\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C$
$\int\cos x\,dx=-\sin x+C$

Watch out

สองสิ่งจำเป็น: ต้องเพิ่ม $+C$ เสมอ ในอินทิกรัลไม่จำกัด (เพราะ它是答案的一部分), และกฎกำลังสอง ใช้ไม่ได้สำหรับ $n=-1$ — $\int x^{-1}\,dx$ คือ $\ln|x|+C$, ไม่ใช่ $\frac{x^0}{0}$. además, ระวังเครื่องหมายของ $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (เป็นลบ, สัมพันธ์กับอนุพันธ์ของ $\cos$).

Example

หาค่า $\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx$

แยกทีละพจน์ (ย้อนกลับกฎกำลังสอง): $6\cdot\dfrac{x^3}{3}=2x^3$; $\;-4\cdot\dfrac{x^2}{2}=-2x^2$; $\;5x$.
$\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx = 2x^3-2x^2+5x+C$.
ตรวจสอบโดยการหาอนุพันธ์: $6x^2-4x+5$. ✓

Key idea

อินทิกรัลไม่จำกัด $\int f\,dx$ คือ อินทิกรัลย้อนกลับ ทั่วไปของ $f$. กฎกำลังสองสำหรับการอินทิเกรต: $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ สำหรับ $n\neq-1$ (และ $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$). ต้องเพิ่ม ค่าคงที่ของการอินทิเกรต $+C$ เสมอ, และอินทิเกรตผลบวกแยกทีละพจน์