ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสและฟังก์ชันการสะสม
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส |
| accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันสะสม |
连接面积与斜率的桥梁
- 微分（斜率）和积分（面积）看起来毫不相干——但它们是互逆的。
- 微积分基本定理（FTC）就是这一惊人的联系。
- 其第一部分涉及由积分定义的函数，称为累积函数。
- 对其求导并——神奇地——你会得到回被积函数。
累积函数
- 固定下限 $a$ 并使上限变化：$$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$
- $g(x)$ คือพื้นที่สะสม (ที่มีเครื่องหมาย) ภายใต้ $f$ ตั้งแต่ $a$ ไปจนถึง $x$
- 随着 $x$ 向右移动，$g$ 收集更多面积；积分变量 $t$ 只是一个占位符。
- $g$ 是关于 $x$ 的真正函数——你可以绘制它、对它求导并分析它。
พื้นที่ที่สะสมขึ้นไปถึง x
y = t² + 1 (ตัวอินทิกรัล)
เมื่อขอบเขตบนเลื่อนไปทางขวา, $g(x)$ จะเก็บพื้นที่มากขึ้น; อัตราการเติบโตทันทีของมันตรงกับ $f(x)$
ฟังก์ชันรูปแบบ $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ เรียกว่าฟังก์ชัน ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันสะสมพื้นที่มีเครื่องหมายขึ้นไปถึง $x$
ใน $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ ตัวแปร $t$ เป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$t$ เป็นตัวแปรชั่วคราว; $x$ คืออินพุตจริงของ $g$
ทฤษฎีบทอนุพันธ์และอินทิกรัล ส่วน 1: อนุพันธ์เป็นการย้อนกลับของอินทิกรัล
- FTC 的第一部分指出：
-
$$g'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$
- 用文字表述：累积函数的导数就是被积函数本身。
- $x$ 处的面积积累速率 = 该处的高度 $f(x)$。极其简单优美。
โดย FTC ส่วนที่ 1, $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์ของฟังก์ชันการสะสมคือตัวอินทิกรัล $f(x)$
สำหรับ $g(x)=\int_2^x (t^2+1)\,dt$, หา $g'(3)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$g'(x)=x^2+1$, ดังนั้น $g'(3)=10$.
带有链式法则的变化
- 如果上限是函数 $u(x)$，则链式法则生效：
- $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\cdot u'(x)$.
- 将上限代入 $f$，然后乘以该上限的导数。
- （变量下限会翻转符号，因为交换积分限会使积分变号。）
สำหรับ $\dfrac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt$ คำตอบคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
กฎลูกโซ่: แทนค่าขอบเขตบน เข้าไป คูณกับอนุพันธ์ของขอบเขตนั้น $2x$
เมื่อขอบเขตบนคือ $u(x)$, คุณต้องคูณตัวอินทิกรัลที่$u$ ด้วย $u'(x)$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ปัจจัยกฎลูกโซ่นี้จำเป็น
ทฤษฎีบทอนุพันธ์และอินทิกรัล ส่วน 1 ให้ $g'(x)=f(x)$ เฉพาะเมื่อ $x$ เป็นขีดจำกัดบนแบบธรรมดาเท่านั้น หากขีดจำกัดบนคือ $u(x)$ (เช่น $x^2$) คุณต้องคูณด้วย $u'(x)$: $\frac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt = f(x^2)\cdot 2x$ การลืมตัวประกอบกฎลูกโซ่นี้เป็นข้อผิดพลาดคลาสสิก
设 $g(x)=\displaystyle\int_2^x (t^2+1)\,dt$。求 $g'(x)$ 和 $g'(3)$。
- โดยทฤษฎีบทอนุพันธ์และอินทิกรัล ส่วน 1: $g'(x)=x^2+1$ (เพียงฟังก์ชันภายในอินทิกรัลที่มี $t\to x$)
- $g'(3)=3^2+1=10$.
- （无需计算积分本身——导数直接读出结果。）
ฟังก์ชันสะสม $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ รวบรวมพื้นที่ที่มีเครื่องหมายจนถึง $x$ ทฤษฎีบทอนุพันธ์และอินทิกรัล ส่วน 1: $g'(x)=f(x)$ — การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันสะสมจะคืนค่า ฟังก์ชันภายในอินทิกรัล หากขีดจำกัดบนคือ $u(x)$ ให้คูณด้วย $u'(x)$ (กฎลูกโซ่)