การสำรวจพฤติกรรมของความสัมพันธ์แบบซ่อนตัว (Implicit Relations)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| implicit relations/ɪmˈplɪsɪt rɪˈleɪʃnz/ | ความสัมพันธ์แบบนัยยะ |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | การหาอนุพันธ์แบบนัยยะ |
การวิเคราะห์กราฟที่ไม่ใช่ฟังก์ชัน
- วงกลม, เอลิปส์, และความสัมพันธ์ 隐式 อื่นๆ ล้มเหลวในการทดสอบเส้นแนวตั้ง — พวกเขาไม่ใช่ $y=f(x)$.
- แต่เครื่องมือคำนวณเชิงอนุพันธ์ยังคงทำงานผ่าน การหาอนุพันธ์แบบ隐式.
- คุณสามารถหาความชันของเส้นสัมผัส, ระบุเส้นสัมผัสแนวนอนและแนวตั้ง, และแม้แต่ความเว้าของพวกเขา.
- บทเรียนนี้ประยุกต์วิธี隐式 ของหน่วย 3 กับคำถามวิเคราะห์ของหน่วย 5.
เส้นสัมผัสแนวนอน: ตัวเศษเป็นศูนย์
- จากอนุพันธ์แบบ неяยัดได้ $\tfrac{dy}{dx}$ ในรูปเศษส่วน
- เส้นสัมผัสแนวนอน เกิดขึ้นที่ $\tfrac{dy}{dx}=0$ — ตั้งให้ ตัวเศษ เป็นศูนย์ (โดยตัวส่วน $\neq0$)
- สำหรับ $x^2+y^2=25$: $\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}=0$ เมื่อ $x=0$, นั่นคือ ที่ $(0,5)$ และ $(0,-5)$ (บนและล่าง)
- นี่คือจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดของกราฟ
เส้นสัมผัสบนวงกลม
y = √(25 − x²) (ครึ่งบน)
บน $x^2+y^2=25$ ด้านบนและด้านล่างจะมีเส้นสัมผัสแนวนอน; ด้านซ้ายและขวาจะมีเส้นสัมผัสแนวตั้ง
เส้นสัมผัสแนวนอนบนเส้นโค้งแบบซ่อนตัวเกิดขึ้นเมื่อ $\tfrac{dy}{dx}$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้นสัมผัสแนวนอน ⇔ ความชัน $0$ ⇔ ตัวเศษของ $\tfrac{dy}{dx}$ เป็นศูนย์
สำหรับ $x^2+y^2=25$ ($\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$) ให้เลือก ทุก จุดที่มีเส้นสัมผัสแนวนอน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{dy}{dx}=0$ เมื่อ $x=0$: จุดด้านบนและด้านล่าง
เส้นสัมผัสแนวตั้ง: ตัวส่วนเป็นศูนย์
- เส้นสัมผัสแนวตั้ง เกิดขึ้นที่ $\tfrac{dy}{dx}$ ไม่มีความหมาย — ตั้งให้ ตัวส่วน เป็นศูนย์ (โดยตัวเศษ $\neq0$)
- สำหรับ $x^2+y^2=25$: $-\tfrac{x}{y}$ ไม่มีความหมายเมื่อ $y=0$, นั่นคือ ที่ $(5,0)$ และ $(-5,0)$ (ซ้ายและขวา)
- เส้นสัมผัสเป็นแนวตั้งตรงนั้น — กราฟเปลี่ยนทิศทางไปตรงๆ ขึ้นและลง
- ตัวเศษเป็นศูนย์ → แนวราบ; ตัวส่วนเป็นศูนย์ → แนวตั้ง
เส้นสัมผัสแนวตั้งเกิดขึ้นเมื่อ ____ ของ $\tfrac{dy}{dx}$ เป็นศูนย์
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตัวส่วนเป็นศูนย์ ⇒ ความชันไม่มีความหมาย ⇒ เส้นสัมผัสแนวตั้ง
การตั้งให้ตัวเศษของ $\tfrac{dy}{dx}$ เป็นศูนย์ ช่วยหาเส้นสัมผัสที่เป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตัวส่วนเป็นศูนย์ ⇒ เส้นสัมผัสแนวตั้ง (ตัวเศษเป็นศูนย์ ⇒ เส้นสัมผัสแนวนอน)
ความโค้ง: อนุพันธ์อันดับสองแบบ неяยัด
- เพื่อหาความโค้ง ให้ทำอนุพันธ์ $\tfrac{dy}{dx}$ อีกครั้ง แบบ неяยัด เพื่อหาค่า $\tfrac{d^2y}{dx^2}$
- จำไว้ว่าทุก $y$ ยังคงขึ้นอยู่กับ $x$ ดังนั้นกฎลูกโซ่จะปรากฏอีกครั้ง และคุณต้องแทนค่า $\tfrac{dy}{dx}$ ที่ทราบแล้วเข้าไป
- สัญญาณของ $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ บ่งบอกความโค้งขึ้น/ลง ที่จุดหนึ่ง เหมือนเดิม
- เป็นเพียงพีชคณิตมากขึ้น แต่ใช้แนวคิดเดียวกัน: $f''>0$弯曲ขึ้น, $f''<0$弯曲ลง
จุดที่เป็นไปได้ต้องสอดคล้องกับสมการเดิม (อยู่บนเส้นโค้ง) ถึงจะนับได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตรวจสอบว่าจุดนั้นอยู่บนเส้นโค้งจริงๆ ไม่ใช่แค่เงื่อนไขความชัน
ในการหาลักษณะความโค้งเว้าบนเส้นโค้งแบบซ่อนตัว คุณ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์อันดับสองแบบซ่อนตัว $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ บอกลักษณะความโค้งเว้าได้จากเครื่องหมาย
สำหรับ เส้นสัมผัสแนวนอน ให้ตั้งให้ ตัวเศษ ของ $\tfrac{dy}{dx}$ เป็นศูนย์; สำหรับ เส้นสัมผัสแนวตั้ง ให้ตั้งให้ ตัวส่วน เป็นศูนย์ — อย่าสลับกัน และจุดใดจุดหนึ่งจะ qualify ได้ก็ต่อเมื่อมันอยู่จริง บนกราฟ: ตรวจสอบว่ามันสอดคล้องกับสมการดั้งเดิม ไม่ใช่แค่เงื่อนไขของอนุพันธ์เท่านั้น
หาเส้นสัมผัสแนวนอนและแนวตั้งของ $x^2+y^2=25$
- $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$.
- แนวนอน ($\tfrac{dy}{dx}=0$): $x=0\Rightarrow(0,5),(0,-5)$
- แนวตั้ง ($\tfrac{dy}{dx}$ ไม่มีความหมาย): $y=0\Rightarrow(5,0),(-5,0)$
วิเคราะห์ ความสัมพันธ์แบบ неяยัด ด้วย การหาอนุพันธ์แบบ неяยัด: $\tfrac{dy}{dx}=0$ (ตัวเศษเป็นศูนย์) ให้ เส้นสัมผัสแนวนอน; $\tfrac{dy}{dx}$ ไม่มีความหมาย (ตัวส่วนเป็นศูนย์) ให้ เส้นสัมผัสแนวตั้ง ทำอนุพันธ์อีกครั้งแบบ неяยัดเพื่อหาค่า $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ และอ่านค่าความโค้งจากสัญญาณของมัน ตรวจสอบเสมอว่าจุดต่างๆ อยู่บนกราฟ