การสำรวจผลรวมของการเปลี่ยนแปลง (Accumulations of Change)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| net change/net tʃeɪndʒ/ | การเปลี่ยนแปลงสุทธิ |
| accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/ | การสะสม |
| area/ˈeərɪə/ | พื้นที่ |
| signed area/saɪnd ˈeərɪə/ | พื้นที่ที่มีเครื่องหมาย |
การบวกการเปลี่ยนแปลงเพื่อรวมเป็นผลรวม
- อนุพันธ์แยกสิ่งต่างๆ ออกเป็นอัตรา อินทิเกรต นำสิ่งเหล่านั้นกลับมาประกอบเป็นผลรวม
- หากคุณรู้ อัตรา ที่某สิ่งเปลี่ยนแปลง คุณสามารถหา การเปลี่ยนแปลงสุทธิ ที่สะสมได้
- ขับรถด้วยความเร็วที่กำหนดเป็นเวลา一段时间 → ระยะทางทั้งหมดคือความเร็วที่สะสมตามเวลา
- การ "บวกอัตรานี้" คือแนวคิดใหญ่ประการที่สองของแคลคูลัส: การสะสม
การอินทิเกรต (การสะสม) โดยพื้นฐานแล้วคือการกลับด้านของ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การสะสมอัตราเป็นการย้อนกลับการหาอนุพันธ์ของปริมาณรวม
การเปลี่ยนแปลงรวมที่สะสมจากอัตราในช่วงเวลาหนึ่งเรียกว่า การเปลี่ยนแปลง ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การเปลี่ยนแปลงสุทธิ = การสะสมที่มีเครื่องหมาย
พื้นที่ใต้กราฟอัตรา = ปริมาณที่สะสม
- วาด อัตราการเปลี่ยนแปลง เทียบกับเวลา พื้นที่ ใต้กราฟนี้คือการเปลี่ยนแปลงสะสมทั้งหมด
- อัตราคงที่ $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ ตลอด $2$ ชม. → พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า $=60\times2=120$ กม.
- อัตราที่เปลี่ยนแปลงทำให้เกิดบริเวณโค้ง แต่แนวคิดเหมือนกัน: พื้นที่ = ปริมาณที่สะสม
- ความสูงคือ อัตรา; ความกว้างคือ ช่วง; พื้นที่คือ ผลรวม
พื้นที่ใต้กราฟอัตราเป็นการสะสมรวม
y = 3 (อัตราคงที่)
พื้นที่ทึบสีใต้กราฟอัตราคือปริมาณที่สะสม — หากขยายช่วงเวลา ปริมาณรวมก็เพิ่มขึ้น
ก๊อกน้ำไหลที่ $3$ ลิตร/นาที เป็นเวลา $4$ นาที พื้นที่ใต้กราฟอัตราการไหล (ปริมาตรสะสม) คือ...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า $=3\times4=12$ ลิตร
อัตราเพิ่มขึ้นแบบเส้นตรงจาก $0$ ไปยัง $6$ ในระยะเวลา $4$ นาที (รูปสามเหลี่ยม) ปริมาณสะสม (พื้นที่) คือ...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
พื้นที่สามเหลี่ยม $=\tfrac12\times4\times6=12$
พื้นที่ที่มีเครื่องหมาย: อัตรารวมอาจเป็นลบ
- เมื่ออัตราเป็น บวก ปริมาณเพิ่มขึ้น (พื้นที่นับเป็นบวก)
- เมื่ออัตราเป็น ลบ (ใต้แกน) ปริมาณลดลง (พื้นที่นับเป็นลบ)
- การเปลี่ยนแปลงสุทธิคือ พื้นที่ที่มีเครื่องหมาย: ส่วนบวกลบด้วยส่วนลบ
- ดังนั้นวัตถุที่เคลื่อนที่ไปด้านหลังจะ หักล้าง กับการกระจัดสะสม
เมื่อกราฟอัตราลุ่มต่ำกว่าแกน พื้นที่ส่วนนั้นจะถูกหักออกจากการเปลี่ยนแปลงสุทธิที่สะสม
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พื้นที่ใต้แกนเป็นลบ (พื้นที่ที่มีเครื่องหมาย)
บนกราฟความเร็ว-เวลา ส่วนที่อยู่ใต้แกนหมายถึงวัตถุ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความเร็วลบ = การเคลื่อนที่ถอยหลัง = พื้นที่ที่มีเครื่องหมายเป็นลบ
จากอัตรากลับสู่ปริมาณ
- ถ้า $f$ เป็นอัตราและคุณสะสมจาก $a$ ถึง $b$ คุณจะได้การเปลี่ยนแปลงสุทธิของปริมาณดั้งเดิม
- นี่เป็นการย้อนกลับของการหาอนุพันธ์เป๊ะๆ — ถอยกลับจากอัตราเพื่อคืนผลรวม
- เครื่องมือที่คำนวณพื้นที่ที่มีเครื่องหมายนี้ได้อย่างแม่นยำคือ อินทิกรัลจำกัด (กำลังจะมา)
- สำหรับตอนนี้: พื้นที่ใต้กราฟอัตรา = ปริมาณที่สะสม
การเปลี่ยนแปลงสะสมคือ พื้นที่ที่มีเครื่องหมาย ไม่ใช่แค่อัตรา
วาล์วน้ำเติมถังด้วยความเร็ว $3\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}$ selama $4$ นาที จากนั้นเปลี่ยนเป็น $0$ ต่อจากนั้น
- กราฟความเร็วเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า: สูง $3$, กว้าง $4$
- ปริมาตรสะสม = พื้นที่ $=3\times4=12$ ลิตร
- หากความเร็วลดลงเป็นลบ (การระบายน้ำ) พื้นที่นั้นจะหักออกจากผลรวมทั้งหมด
การสะสม เปลี่ยนความเร็วกลับเป็นปริมาณรวม: พื้นที่ที่มีเครื่องหมาย ใต้กราฟ อัตราการเปลี่ยนแปลง ตลอดช่วง $[a,b]$ คือ การเปลี่ยนแปลงสุทธิ ของปริมาณนั้น ความเร็วบวก → พื้นที่เพิ่ม; ความเร็วลบ → พื้นที่ลด อินทิกรัล_examples ทำให้สิ่งนี้ชัดเจนขึ้น