การใช้การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองเพื่อหาค่า extreme
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Second Derivative Test/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv test/ | การทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง |
| inconclusive/ɪŋkənˈkluːsɪv/ | ไม่สามารถสรุปได้ |
จำแนกค่าสุดขั้วด้วยตัวเลขหนึ่งตัว
- การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่งอ่านการเปลี่ยนเครื่องหมาย; การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง มักจะเร็วกว่า
- ที่จุดวิกฤตที่ $f'(c)=0$, เพียงตรวจสอบเครื่องหมายของ $f''(c)$
- เว้าขึ้นที่จุดราบเรียบ → หลุม; เว้าลงที่จุดราบเรียบ → ยอดเขา
- การประเมิน $f''$ ครั้งเดียวก็จบได้ — ไม่ต้องใช้แผนภูมิสัญญาณ
$f''(c) > 0$: ต่ำสุด
- ถ้า $f'(c)=0$ และ $f''(c)>0$, แล้ว $f$ มี ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ที่ $c$
- เว้าขึ้น (ถ้วย) กับเส้นสัมผัสแนวนอน = ก้นหลุม
- อารมณ์: ความชันเป็นศูนย์และ เพิ่มขึ้น, ดังนั้นกราฟจึงหันขึ้น
ถ้วยที่ค่าต่ำสุด, หมวกที่ค่าสูงสุด
y = ax³ + cx
ที่ค่า local min เกรฟมีความเว้าขึ้น ($f''>0$); ที่ค่า local max มีความเว้าลง ($f''<0$).
ถ้า $f'(c)=0$ และ $f''(c)>0$, แล้ว $c$ เป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เว้าขึ้นที่จุดแบน = ค่าต่ำสุด
$f''(c) < 0$: สูงสุด
- ถ้า $f'(c)=0$ และ $f''(c)<0$, แล้ว $f$ มี ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ที่ $c$
- เว้าลง (หมวก) กับเส้นสัมผัสแนวนอน = ยอดเขา
- ความชันเป็นศูนย์และ ลดลง, ดังนั้นกราฟจึงหันลง
ถ้า $f'(c)=0$ และ $f''(c)<0$, แล้ว $c$ เป็น relative ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เว้าลงที่จุดแบน = ค่าสูงสุด
เมื่อมันพูดอะไรnothing
- ถ้า $f''(c)=0$, การทดสอบ ไม่สามารถสรุปได้ — มันไม่ให้คำตอบ
- จุดนั้นอาจเป็น max, min, หรือ neither (เช่น $y=x^3$ ที่ $0$, หรือ $y=x^4$ ที่ $0$)
- ให้ใช้ การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (การเปลี่ยนแปลงของ $f'$) ในกรณีนั้น
- ดังนั้น: ให้ใช้ การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง ก่อน ถ้า $f''$ ทำได้ง่าย; สลับไปใช้การทดสอบอันดับแรก ถ้า $f''(c)=0$
ถ้า $f''(c)=0$, การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองพิสูจน์ได้ว่าไม่มี extreme ที่ $c$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันไม่ conclusiveness — ให้ใช้การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่งแทน
สำหรับ $f(x)=x^3-3x$ ($f''=6x$), จำแนก $x=-1$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f''(-1)=-6<0$ → ค่าสูงสุดสัมพัทธ์
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองถูกใช้ที่จุดวิกฤตที่...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันจำแนกจุดวิกฤตที่ where tangent เป็นแนวนอน, $f'(c)=0$
คุณควรถอยกลับไปใช้การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่งเมื่อใด?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
การทดสอบแรกทำงานเสมอ; การทดสอบที่สองมักเร็วกว่า
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง ต้องมี $f'(c)=0$ ก่อน — เพราะมันจัดประเภทจุดวิกฤตที่มีสัมผัสแนวนอน และ $f''(c)=0$ เป็น ผลไม่ชัดเจน ไม่ใช่ "ไม่มี": คุณต้องจึงใช้ การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง อย่าสรุปว่า "ไม่มีค่าสูงสุด/ต่ำสุด" เพียงเพราะ $f''(c)=0$
จัดประเภทจุดวิกฤตของ $f(x)=x^3-3x$ โดยใช้ $f''$
- $f'(x)=3x^2-3=0$ ที่ $x=\pm1$; $\;f''(x)=6x$
- ที่ $x=1$: $f''(1)=6>0$ → ค่าสัมพัทธ์ต่ำสุด
- ที่ $x=-1$: $f''(-1)=-6<0$ → ค่าสัมพัทธ์สูงสุด
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง: ที่จุดวิกฤตซึ่งมี $f'(c)=0$, $f''(c)>0$ ให้ ค่าสัมพัทธ์ต่ำสุด และ $f''(c)<0$ ให้ ค่าสัมพัทธ์สูงสุด หาก $f''(c)=0$ การทดสอบจะเป็น ผลไม่ชัดเจน — ให้ย้อนกลับไปใช้ การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง