การวาดกราฟของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมัน
แนะนำใหม่วาดรูปร่างทั้งหมดจากอนุพันธ์
- อนุพันธ์คือสูตรการทำกราฟ: $f'$ ให้ความชัน, $f''$ ให้ความโค้ง
- รวมแผนภูมิเครื่องหมายทั้งสองเข้าด้วยกัน แล้วคุณสามารถ วาด เส้นโค้งที่ไม่เคยได้รับมาเลย
- ค่าสูงสุด/ต่ำสุด มาจาก $f'$; ความเว้าและจุดเปลี่ยนความเว้า มาจาก $f''$
- นี่คือจุดที่所有内容ในหน่วยที่ 5มารวมกันเป็นภาพเดียว
ข้อมูลที่คุณรวบรวมได้
- จาก $f'$: ช่วงที่เพิ่มขึ้น/ลดลง และ ค่าสูงสุด/ต่ำสุด (ที่ $f'$ เปลี่ยนเครื่องหมาย)
- จาก $f''$: ช่วงความเว้า และ จุดเปลี่ยนความเว้า (ที่ $f''$ เปลี่ยนเครื่องหมาย)
- บวกกับจุด的几个ที่พล็อตไว้และจุดตัดใดๆ เพื่อวางตำแหน่งความสูง
- ซ้อนชั้นข้อมูลเหล่านี้เข้าด้วยกัน รูปร่างจะถูกบังคับให้เกิดขึ้น
ค่า extreme局部的 ของ $f$ เกิดขึ้นที่ ____ ของ $f'$ ที่เปลี่ยนเครื่องหมาย
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ศูนย์ที่เปลี่ยนเครื่องหมายของ $f'$ บ่งชี้ถึง extreme ของ $f$
คุณสมบัติใดมาจากร $f''$ (อนุพันธ์อันดับสอง)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ความเว้า + จุดเปลี่ยนความโค้งเว้าจาก $f''$; เพิ่ม/ลด + extreme จาก $f'$
การวาด $f'$ จาก $f$, และการกลับด้าน
- เมื่อมีกราฟของ $f$: ที่ $f$ มีสัมผัสแนวนอน, $f'=0$ (ซึ่งเป็นศูนย์ของ $f'$)
- ที่ $f$ เพิ่มขึ้น, $f'$ เป็น บวก; ที่ $f$ ลดลง, $f'$ เป็น ลบ
- ที่ $f$ ลึกที่สุด, $f'$ อยู่ที่ค่าสูงสุด/ต่ำสุด; ที่จุดเปลี่ยนความเว้าของ $f$, $f'$ มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด
- อ่านย้อนกลับเพื่อวาด $f$ จาก $f'$ ที่กำหนดให้
ที่ซึ่งกราฟของ $f$ มี tangent แนวนอน, กราฟของ $f'$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tangent แนวนอน ⇒ ความชัน $0$ ⇒ $f'=0$
ที่ซึ่ง $f$ เพิ่มขึ้น, อนุพันธ์ $f'$ เป็นบวก
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เพิ่มขึ้น ⇔ $f'>0$
วางเครื่องหมายบนภาพร่าง
- ทำเครื่องหมายที่ ค่าสูงสุด/ต่ำสุด (ยอด/ร่อง), จุดเปลี่ยนความเว้า (การเปลี่ยนการโค้ง), และติดป้ายชื่อช่วง
- จับคู่ เพิ่ม+เว้าขึ้น (โค้งขึ้นลึก) เทียบกับ เพิ่ม+เว้าลง (ลดระดับลง), และอื่นๆ — รวมสี่รูปแบบ
- ตรวจสอบความสอดคล้อง: ค่าสูงสุดเฉพาะควรอยู่ที่ที่การเพิ่มขึ้นเปลี่ยนเป็นการลดลง และ กราฟมีความเว้าลง
- ภาพร่างที่สะอาดแสดงว่าทั้งสี่คุณสมบัติสอดคล้องกัน
รูปร่างสุดท้าย
y = ax³ + cx
ยอดที่ $(-1,2)$, จุดเปลี่ยนความโค้งเว้าที่ $(0,0)$, หลุมที่ $(1,-2)$ — ตรงตามที่ $f'$ และ $f''$ ตารางทำนายไว้
ที่จุดที่ $f$ สูงแต่แบน, ค่าของ $f'$ เป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อ่านความชัน, ไม่ใช่ความสูง: แบน ⇒ $f'=0$
ค่าสูงสุด局部 ควรเกิดขึ้นที่ $f$ เปลี่ยนจากการเพิ่มเป็นการลดและกราฟมีความเว้า...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ยอดเป็นเว้าลง (เป็นหมวก)
อย่าอ่าน $f'$ จาก ความสูง ของ $f$ — ให้อ่านจาก ความชัน ที่ $f$ สูงแต่ราบเรียบ, $f'=0$ ไม่ใช่ "มาก" และ ศูนย์ของ $f'$ บ่งบอกถึงค่าสูงสุด/ต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $f$; ศูนย์ของ $f''$ บ่งบอกถึงจุดเปลี่ยนความเว้าที่เป็นไปได้ของ $f$ — รักษาความแตกต่างระหว่างระดับทั้งสอง
คำแนะนำในการวาดสำหรับ $f(x)=x^3-3x$
- $f'=3(x-1)(x+1)$: เพิ่มขึ้นที่ $(-\infty,-1)$ และ $(1,\infty)$, ลดลงที่ $(-1,1)$; สูงสุดที่ $(-1,2)$, ต่ำสุดที่ $(1,-2)$
- $f''=6x$: เว้าลงสำหรับ $x<0$, เว้าขึ้นสำหรับ $x>0$; จุดเปลี่ยนความเว้าที่ $(0,0)$
- ภาพร่าง: ขึ้นสู่ยอดที่ $(-1,2)$, ลงผ่าน $(0,0)$, ดิ่งลงสู่ $(1,-2)$, จากนั้นเพิ่มขึ้น
เพื่อ วาด กราฟ, รวมสิ่งที่ $f'$ บอก (เพิ่ม/ลดและ ค่าสูงสุด/ต่ำสุด) กับสิ่งที่ $f''$ บอก (ความเว้าและ จุดเปลี่ยนความเว้า), บวกกับจุดอ้างอิงไม่กี่จุด อ่าน $f'$ จาก ความชัน ของ $f$ (ไม่ใช่ความสูง); ศูนย์ของ $f'$ คือค่าสูงสุด/ต่ำสุดที่เป็นไปได้, ศูนย์ของ $f''$ คือจุดเปลี่ยนความเว้าที่เป็นไปได้