ทฤษฎีบทค่าสุดขั้ว ทฤษฎีบทค่าสุดขั้วทั่วโลกเทียบกับท้องถิ่น และจุดวิกฤต
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| local (relative) extremum/ˈləʊkl ekˈstreməm/ | ค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์ |
| global (absolute) extremum/ˈɡləʊbl ekˈstreməm/ | ค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมบูรณ์ |
| critical points/ˈkrɪtɪkl pɔɪnts/ | จุดวิกฤต |
| Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | ทฤษฎีบทค่าสุดขั้ว |
จุดสูงสุด จุดต่ำสุด และตำแหน่งที่ต้องมองหา
- กราฟที่เรียบเนียนจะมีจุดสูงและจุดต่ำ — อนุพันธ์คือเครื่องมือในการค้นหาจุดเหล่านี้
- ก่อนอื่น มาดูคำศัพท์: จุดยอดหรือจุดก้นถ้ำเฉพาะที่ (local/relative extremum) คือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดเมื่อเทียบกับจุด ใกล้เคียง
- จุดยอดหรือจุดก้นถ้ำสัมบูรณ์ (global/absolute extremum) คือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดเพียงจุดเดียวตลอดทั้ง ช่วง
- ตัวชี้ Kandidat สำหรับทั้งสองประเภทคืออินพุตพิเศษที่เรียกว่า จุดวิกฤต (critical points)
"ค่าสูงสุดท้องถิ่น (สัมพัทธ์)" คือจุดที่มีค่าสูงที่สุดเมื่อเทียบกับ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ท้องถิ่น = เปรียบเทียบกับจุดใกล้เคียง; โลก/สัมบูรณ์ = ตลอดทั้งช่วง
ทฤษฎีบทค่าสุดขั้ว (Extreme Value Theorem)
- ทฤษฎีบทค่าสุดขั้ว (EVT) รับประกันว่าจุดยอดหรือจุดก้นถ้ำมีอยู่ — ภายใต้เงื่อนไขหนึ่ง
- หาก $f$ ต่อเนื่อง บนช่วง ปิด $[a,b]$, แล้ว $f$ จะมีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และ ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ บน $[a,b]$
- ความต่อเนื่อง + ช่วงปิดคือบัตรเข้า; หากขาดอย่างใดอย่างหนึ่ง ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดอาจไม่มีอยู่
- EVT บอกคุณว่าพวกมัน มีอยู่; อนุพันธ์ช่วยให้คุณ ค้นหา它们
EVT รับประกันว่ามีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดเมื่อ $f$ ต่อเนื่องบนช่วง ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ต้องมีความต่อเนื่องและช่วงปิดเท่านั้น
จุดวิกฤต: สถานที่ที่จุดยอดหรือจุดก้นถ้ำอาจซ่อนอยู่
- จุดวิกฤต คือ $x$ ภายในช่วงที่ $f'(x)=0$ หรือ $f'(x)$ ไม่มีอยู่
- $f'=0$: เส้นสัมผัสแนวนอน (จุดยอดหรือจุดก้นถ้ำที่เรียบ); $f'$ ไม่กำหนด: มุมแหลมหรือ cusps
- จุดยอดหรือจุดก้นถ้ำเฉพาะที่สามารถเกิดขึ้นได้ เฉพาะ ที่จุดวิกฤตเท่านั้น — ไม่เกิดที่อื่นภายในช่วง
- ดังนั้นในการตามหาจุดยอดหรือจุดก้นถ้ำ ให้เริ่มด้วยการแก้ $f'(x)=0$ และสังเกตตำแหน่งที่ $f'$ ไม่กำหนด
ที่ซึ่งความชันเป็นศูนย์
y = ax³ + cx
ที่ยอดหรืออุ้งของฟังก์ชัน ทันสัมผัสจะราบเรียบ ($f'=0$) — ค่าอินพุตเหล่านี้คือจุดวิกฤต
จุดวิกฤตคือ $x$ ภายในที่มี...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
จุดวิกฤต: $f'=0$ เป็นศูนย์ หรือ $f'$ ไม่สามารถกำหนดค่าได้
เฉพาะที่ vs สัมบูรณ์ — อย่าสับสน
- เฉพาะที่ สูงกว่าเพื่อนบ้านโดยตรง; สัมบูรณ์ สูงสุดทุกที่บน $[a,b]$
- จุดยอดหรือจุดก้นถ้ำสัมบูรณ์ในช่วงปิดอยู่ที่either一个 จุดวิกฤต หรือ จุดปลายช่วง
- ไม่ใช่ทุกจุดวิกฤตจะเป็นจุดยอดหรือจุดก้นถ้ำ (เส้นสัมผัสแนวนอนอาจเป็นจุดราบบนกราฟที่กำลังเพิ่มขึ้น)
- ท้องที่และทั่วโลกเป็นคำถามคนละเรื่อง — จุดหนึ่งอาจเป็นแบบหนึ่งแต่ไม่ใช่แบบอื่น
หาค่า ทั้งหมด ของจุดวิกฤตของ $f(x)=x^3-3x$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(x)=3(x-1)(x+1)=0$ ที่ $x=\pm1$
ทุกจุดที่ $f'(x)=0$ เป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดท้องถิ่น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$y=x^3$ ที่ $0$ มี $f'=0$ แต่ไม่มีค่าสุดขั้ว — จุดวิกฤตเป็นเพียงผู้เข้าชิงเท่านั้น
บนช่วงปิด ค่าสุดขั้วสัมบูรณ์จะต้องเกิดขึ้นที่จุดวิกฤตหรือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตรวจสอบจุดวิกฤต และ จุดปลายทั้งสอง
$f'(c)=0$ ไม่ รับประกันว่า $c$ จะเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด ฟังก์ชัน $y=x^3$ มี $f'(0)=0$ แต่ $x=0$ neither max nor min — เป็นเพียงจุดเปลี่ยนเว้าแบน (flat inflection) จุดวิกฤตเป็นเพียง ผู้เข้าชิง; คุณต้องทดสอบมัน (บทเรียน 5.4, 5.7) และ EVT ต้องการทั้งความต่อเนื่องและช่วง ปิด
หาจุดวิกฤตของ $f(x)=x^3-3x$
- $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.
- ตั้ง $f'(x)=0$: $x=1$ และ $x=-1$ — ทั้งสองให้เส้นสัมผัสแนวนอน
- $f'$ นิยามได้ทุกที่ (พหุนาม) ดังนั้นทั้งสองนี้จึงเป็นจุดวิกฤตเพียงสองจุด
ทฤษฎีบทค่าสูงสุด-ต่ำสุด: ฟังก์ชัน ต่อเนื่อง บนช่วง ปิด จะมีค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ค่าเหล่านี้และ ค่าสุดท้องถิ่น ทั้งหมด เกิดขึ้นที่ จุดวิกฤต ($f'=0$ หรือไม่นิยาม) หรือ จุดปลาย ของช่วง จุดวิกฤตเป็นผู้เข้าชิง ไม่ใช่การรับประกัน — ต้องทดสอบเสมอ