การหาช่วงที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือลดลง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| sign of the first derivative/saɪn ɒvðə fɜːst dɪˈrɪvətɪv/ | เครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง |
| sign chart/saɪn tʃɑːt/ | ตารางเครื่องหมาย |
สัญญาณของ $f'$ บอกเรื่องราว
- ที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือลดลง เขียนอยู่ใน สัญญาณของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
- $f'(x)>0$ บนช่วง → $f$ เพิ่มขึ้น ที่นั่น (ไปทางขึ้น)
- $f'(x)<0$ → $f$ ลดลง (ไปทางลง)
- ดังนั้นเพื่อวาดแผนที่ว่า $f$ ขึ้นและลงที่ไหน คุณแค่ติดตามสัญญาณของ $f'$
ชันขึ้นเมื่อ f′ > 0
y = ax³ + cx
เส้นโค้งพุ่งขึ้นเมื่อความชันเป็นบวกและลดลงเมื่อเป็นลบ — สัญญาณของ $f'$ จะบ่งบอกช่วงต่างๆ ทั้งหมด
ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงหนึ่งก็ต่อเมื่อ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์อันดับหนึ่งเป็นบวกหมายถึงฟังก์ชันเพิ่มขึ้น
สร้างตารางสัญญาณ
- เริ่มต้นด้วยการหาค่า จุดวิกฤต (critical points) (ซึ่ง $f'=0$ เป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่) — ค่าเหล่านี้แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นช่วงต่างๆ
- วาด ตารางสัญญาณ: ทำเครื่องหมายจุดวิกฤต สร้างช่วงเปิดระหว่างมัน
- เลือก จุดทดสอบ ในแต่ละช่วงและตรวจสอบสัญญาณของ $f'$ ที่นั่น
- สัญญาณหนึ่งต่อหนึ่งช่วงก็พอ — $f'$ ไม่สามารถเปลี่ยนสัญญาณโดยไม่ผ่านจุดวิกฤต
สำหรับ $f'(x)=3(x-1)(x+1)$ ให้แทนค่า $f'(0)$ เพื่อทดสอบช่วงตรงกลาง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$3(-1)(1)=-3<0$ ดังนั้น $f$ จึงลดลงบน $(-1,1)$
จุดวิกฤตแบ่งจำนวนจริงออกเป็นช่วงสำหรับแผนภูมิ ____ ของ $f'$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แผนภูมิสัญญาณติดตามว่า $f'$ เป็นบวกหรือลบที่จุดใด
อ่านช่วงได้ทันที
- แต่ละช่วงที่ $f'>0$ เป็น ช่วงเพิ่ม; แต่ละช่วงที่ $f'<0$ เป็น ช่วงลด
- เขียนใน สัญลักษณ์ช่วง: เช่น เพิ่มบน $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$
- ใช้โดเมนของฟังก์ชันเป็นขอบเขตภายนอก
- (ว่าการรวมจุดวิกฤตหรือไม่เป็นเรื่องรายละเอียดของธรรมเนียม; AP มักยอมรับช่วงเปิด)
สำหรับ $f(x)=x^3-3x$ (จุดวิกฤต $\pm1$) เลือก ทุก ช่วงที่เพิ่มขึ้น
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'>0$ อยู่ภายนอก $[-1,1]$; ลดลงอยู่ระหว่างกลาง
ทำไมถึงทำงานได้
- ระหว่างจุดวิกฤตสองจุดติดกัน, $f'$ รักษาสัญญาณเดิม — ไม่มีการเปลี่ยนสัญญาณโดยไม่ผ่านศูนย์หรือช่องว่าง
- ดังนั้นค่าทดสอบหนึ่งค่าสรุปทั้งช่วงได้
- ข้อมูลสัญญาณนี้เป็นพื้นฐานของการทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (บทถัดไป)
- พฤติกรรมเพิ่ม/ลด คือสิ่งที่ฟังก์ชันอัตราการเปลี่ยนแปลงเข้ารหัสไว้
ฟังก์ชันที่เป็นลบ (อยู่ใต้แกน $x$) ก็สามารถเพิ่มขึ้นได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การเพิ่มขึ้นขึ้นอยู่กับ $f'>0$ ไม่ใช่สัญญาณของ $f$
จุดทดสอบหนึ่งจุดสามารถตัดสินทั้งช่วงได้เพราะ $f'$ ไม่สามารถเปลี่ยนสัญญาณโดยไม่...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การเปลี่ยนสัญญาณจำเป็นต้องมีจุดศูนย์หรือจุดที่ไม่สามารถกำหนดค่าของ $f'$
ติดตามสัญญาณของ $f'$, ไม่ใช่ สัญญาณของ $f$ ฟังก์ชันสามารถมีค่า ลบ แต่ เพิ่มขึ้น ได้ (เช่น สูงจาก $-5$ ไปยัง $-1$) "เพิ่มขึ้น" หมายถึง ค่าผลลัพธ์มีขนาดใหญ่ขึ้น ($f'>0$), ไม่ว่า $f$ จะอยู่เหนือหรือใต้แกน $x$ เองก็ตาม
$f(x)=x^3-3x$ เพิ่มขึ้นที่ใด?
- $f'(x)=3(x-1)(x+1)$; จุดวิกฤต $x=-1,1$
- ทดสอบ $x=-2$: $f'>0$. ทดสอบ $x=0$: $f'=-3<0$. ทดสอบ $x=2$: $f'>0$
- เพิ่มบน $(-\infty,-1)$ และ $(1,\infty)$; ลดบน $(-1,1)$
สัญญาณของ $f'$ กำหนดพฤติกรรม monotonic: $f'>0$ → เพิ่ม, $f'<0$ → ลด แบ่งจำนวนจริงที่ จุดวิกฤต, สร้าง ตารางสัญญาณ ด้วยจุดทดสอบหนึ่งจุดต่อแต่ละช่วง, และอ่านช่วงที่เพิ่มและลด ติดตามสัญญาณของ $f'$, ไม่ใช่ของ $f$