โดยใช้ทฤษฎีบทค่ากลาง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย |
ที่ใดสักแห่ง ความเร็วทันทีเท่ากับความเร็วเฉลี่ย
- ขับ $120$ กิโลเมตร在规定时间内 $2$ ชั่วโมง: ความเร็วเฉลี่ยของคุณคือ $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$
- ในช่วงเวลาใดช่วงเวลาหนึ่ง เครื่องวัดความเร็วของคุณ ต้องมี แสดงค่า $60$ พอดี — คุณไม่สามารถได้ค่าเฉลี่ย $60$ โดยไม่ผ่านมัน
- ข้อเท็จจริงเชิงสัญชาตญาณนี้คือ ทฤษฎีบทค่ากลาง (MVT)
- มันเชื่อมโยง อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ตลอดช่วงเข้ากับ อัตราทันที ที่จุดใดจุดหนึ่งภายใน
สมมติฐานมาก่อน
- MVT ต้องการ $f$ ต่อเนื่อง บน $[a,b]$ และ หาอนุพันธ์ได้ บน $(a,b)$
- หากทั้งสองข้อเป็นจริง จะมีอย่างน้อยหนึ่ง $c$ ใน $(a,b)$ ที่มี
-
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- ด้านซ้ายคืออัตราทันที; ด้านขวาคืออัตราเฉลี่ยตลอด $[a,b]$
การประยุกต์ใช้ MVT บน $[a,b]$ ต้องมี เงื่อนไขพื้นฐาน อะไรบ้าง?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ต่อเนื่องบนช่วงปิดและหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด ($f(a)=f(b)$ คือเงื่อนไขเพิ่มของ Rolle)
MVT รับประกันว่ามี $c$ ที่ $f'(c)$ เท่ากับ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย
เส้นสัมผัสขนานกับเส้นคอร์ด
- ด้านขวาคือความชันของ เส้นคอร์ด ที่เชื่อมจุดปลายทั้งสอง
- ดังนั้น MVT รับประกันว่ามีจุดที่ เส้นสัมผัส ขนาน กับเส้นคอร์ดนั้น
- ทางเรขาคณิต: ที่ไหนสักแห่ง ความชันของกราฟเท่ากับความชันเฉลี่ยโดยรวม
- เหมือนกับ IVT มันคือ ทฤษฎีบทการมีอยู่ — มันสัญญาว่า $c$ มีอยู่ ไม่ใช่ค่าของมัน
เส้นสัมผัสขนานกับเส้นคัต
y = x²
ภายในช่วงหนึ่งจะจุดที่ความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับความชันเฉลี่ย (เส้นคัต) — จุดนั้นคือ $c$ ที่ทฤษฎีบท MVT รับประกันไว้
ในเชิงเรขาคณิต MVT รับประกันว่ามีเส้นสัมผัสขนานกับเส้น ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้นสัมผัสที่ $c$ ขนานกับเส้นคัตที่เชื่อมจุดปลายทั้งสอง
การหาค่า $c$ ที่รับประกันได้
- ในการหา $c$: ตั้ง $f'(c)$ เท่ากับอัตราเฉลี่ยและแก้สมการหาค่า $c$ ใน $(a,b)$
- ตรวจสอบสมมติฐานก่อน (ต่อเนื่อง + หาอนุพันธ์ได้) — หากข้ามขั้นตอนนี้ ทฤษฎีบทจะไม่ใช้ได้
- ทิ้งคำตอบใดๆ ที่อยู่นอกช่วงเปิด $(a,b)$
- MVT เป็นเครื่องยนต์เบื้องหลังผลลัพธ์อื่นๆ อีกมากมาย (เช่น "ถ้า $f'=0$ ทุกที่, $f$ เป็นค่าคงที่")
สำหรับ $f(x)=x^2$ บน $[2,6]$, หาค่า $c$ ที่ MVT รับประกัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ค่าเฉลี่ย $=\frac{36-4}{4}=8$; $2c=8\Rightarrow c=4\in(2,6)$
หาก $f$ มีมุมแหลมภายใน $(a,b)$ MVT ก็ยังคงรับประกันว่าจะใช้ได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มุมแหลมทำให้หาอนุพันธ์ไม่ได้ ดังนั้นเงื่อนไขพื้นฐานจึงล้มเหลวและ MVT อาจใช้ไม่ได้
เช่นเดียวกับ IVT MVT เป็นทฤษฎีบทประเภทใด?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันรับประกันว่ามี $c$ แบบนั้นอยู่จริง (แม้ว่าที่นี่คุณมักจะหาได้เอง)
สมมติฐานทั้งสองจำเป็นต้องมี หาก $f$ มี มุมแหลม (หาอนุพันธ์ไม่ได้) หรือมีจุดขาด (ไม่ต่อเนื่อง) ในช่วง则该ทฤษฎีบทอาจล้มเหลว — อาจไม่มี $c$ แบบดังกล่าว ต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่า $f$ ต่อเนื่องบน $[a,b]$ และ หาอนุพันธ์ได้บน $(a,b)$ ก่อนนำไปใช้
สำหรับ $f(x)=x^2$ บน $[1,3]$, หาค่า $c$ ที่ MVT รับประกัน
- อัตราเฉลี่ย: $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$
- $f'(x)=2x$, ดังนั้นให้กำหนด $2c=4\Rightarrow c=2$
- $c=2$ อยู่ภายใน $(1,3)$ ✓ — ที่นั่น ความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับความชันเฉลี่ย $4$
ทฤษฎีบทค่ากลาง: ถ้า $f$ ต่อเนื่อง บน $[a,b]$ และ หาอนุพันธ์ได้ บน $(a,b)$, มี $c\in(a,b)$某点ที่ $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — อัตราทันทีเท่ากับอัตราเฉลี่ย, นั่นคือ เส้นสัมผัสขนานกับเส้นคอร์ด ตรวจสอบสมมติฐาน แล้วแก้ $f'(c)=$ เพื่อหาค่า $c$