การใช้กฎของ L'Hospital เพื่อหาค่าลิมิตของรูปแบบที่ไม่確定
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/ | กฎของโลปิตาล |
| indeterminate forms/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːmz/ | รูปไม่กำหนดได้ |
เทคนิคอนุพันธ์สำหรับลิมิตดื้อรั้น
- กลับไปที่ Unit 1, $\tfrac00$ หมายความว่า "ลดรูปโดยพีชคณิต" บางครั้งไม่มีพีชคณิตช่วยได้
- กฎของ L'Hospital ใช้อันตรพันธ์เพื่อคลี่คลายลิมิตดื้อรั้นเหล่านั้น
- ใช้ได้กับ รูปแบบไม่確定 $\tfrac00$ และ $\tfrac{\infty}{\infty}$
- แนวคิด: แทนอัตราส่วนของฟังก์ชันด้วยอัตราส่วนของ อนุพันธ์ ของมัน
ตรวจสอบรูปแบบก่อน
- L'Hospital ใช้ได้กับ รูปแบบไม่确定的 จริงๆ เท่านั้น: $\dfrac00$ หรือ $\dfrac{\infty}{\infty}$
- แทนค่าก่อนเพื่อยืนยันว่าคุณมีรูปแบบนี้หรือไม่ — หากการแทนค่าโดยตรงให้ผลลัพธ์เป็นตัวเลขอยู่แล้ว คุณก็จบลงแล้ว และกฎนี้ ไม่ ถูกนำไปใช้
- การ使用该法กับลิมิตที่ไม่ใช่รูปไม่แน่นอน (เช่น $\tfrac{5}{2}$) จะให้คำตอบที่ผิด
- ดังนั้นต้องตรวจสอบรูปแบบก่อนเสมอเมื่อจะใช้อัตราส่วน
กฎของ L'Hospital ใช้ได้กับรูปแบบที่ไม่กำหนดค่า ชนิดใด?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เฉพาะ $\tfrac00$ และ $\tfrac\infty\infty$ เท่านั้น $\tfrac52$ เป็นค่าที่ระบุได้ชัดเจนแล้ว; $\tfrac30$ เป็นเส้นประสม ไม่ใช่รูปแบบที่ไม่กำหนดค่า
ก่อนใช้กฎนี้ ให้ยืนยันว่าลิมิตเป็นรูปแบบ ____ โดยแทนค่าเข้าไป
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เฉพาะ $\tfrac00$ หรือ $\tfrac\infty\infty$ เท่านั้นที่จะเข้าข่าย
แยกหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน
- กฎ: $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$(เมื่อรูปแบบเป็นรูปไม่แน่นอน)
- คำเตือน: นี่ ไม่ใช่ กฎผลหาร — คุณหาอนุพันธ์ $f$ และ $g$ แบบอิสระต่อกัน ไม่มีเครื่องหมายลบ, ไม่มี $g^2$
- จากนั้นประเมินลิมิตใหม่ที่ง่ายกว่านั้นอีกครั้ง
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$ — ลิมิตที่มีชื่อเสียง ในบรรทัดเดียว
อัตราส่วน 0/0 ที่มีค่าลิมิตจริง
y = sin(x)/x (ใกล้ 0)
$\tfrac{\sin x}{x}$ ดูเหมือน $\tfrac00$ ที่ $0$ แต่เส้นโค้งมุ่งหน้าไปหา $1$ อย่างราบรื่น — กฎของ L'Hospital ช่วยหาค่านี้ได้อย่างรวดเร็ว
กฎของ L'Hospital ใช้กฎผลคูณ $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ กับตัวเศษและตัวส่วน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันหาอนุพันธ์ของ $f$ และ $g$ แยกกัน: $\tfrac{f'}{g'}$ ไม่ใช่กฎผลคูณ
หาค่า $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$ โดยใช้กฎนี้
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac00\Rightarrow\lim\tfrac{e^x}{1}=e^0=1$.
โดย L'Hospital, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\cos 0=1$.
ทำซ้ำหากยังอยู่ในรูปไม่แน่นอน
- หากอัตราส่วนใหม่ $\tfrac{f'}{g'}$ เป็น $\tfrac00$ หรือ $\tfrac\infty\infty$ อีก ให้อัตราส่วน อีกครั้ง
- หาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนต่อไปจนกว่าจะได้ค่าที่แน่นอน
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\tfrac12$ (ใช้สองครั้ง)
- ทุกรอบต้องยังคงเป็นรูปไม่แน่นอนเพื่อให้สามารถใช้อัตราส่วนได้อีกครั้ง
เมื่อใช้กฎนี้สองครั้ง $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=$ ? (ตัวเลขทศนิยม)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\to\tfrac{\sin x}{2x}\to\tfrac{\cos x}{2}=\tfrac12$.
$\dfrac{f'}{g'}$ ไม่ใช่ กฎผลหาร L'Hospital หาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วน แยกกัน: $\frac{d}{dx}[f]$ เหนือ $\frac{d}{dx}[g]$ — ไม่มี $\frac{f'g-fg'}{g^2}$. และใช้เฉพาะกับ $\tfrac00$ หรือ $\tfrac{\infty}{\infty}$; การใช้อัตราส่วนในขณะที่ลิมิตมีค่าแน่นอนอยู่แล้วจะทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่มีความหมาย
หาค่า $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$
- แทนค่า: $\frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0}$ — เป็นรูปไม่แน่นอน ดังนั้น L'Hospital ใช้ได้
- หาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วน: $\dfrac{e^x}{1}$
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$.
กฎของ L'Hospital: สำหรับ รูปแบบไม่แน่นอน $\tfrac00$ หรือ $\tfrac{\infty}{\infty}$, $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ — หาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วน แยกกัน (ไม่ใช่กฎผลหาร) และประเมินค่าใหม่ ตรวจสอบรูปแบบก่อน และ ทำซ้ำ กฎนี้ покаผลลัพธ์ยังคงเป็นรูปไม่แน่นอน