การประมาณค่าโดยใช้ความเป็นเส้นตรงในพื้นที่และlinearization
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | เส้นสัมผัส |
| local linearity/ˈləʊkl lɪˈnɪərɪti/ | ความเป็นเชิงเส้นในท้องถิ่น |
| linearization/ˌlɪnɪəraɪˈzeɪʃn/ | การทำเชิงเส้น |
ซูมเข้าใกล้พอแล้วเส้นโค้งจะดูตรง
- เลือกเส้นโค้งเรียบใดๆ ซูมเข้าไปที่จุดหนึ่ง มันจะแบนลงเป็น (เกือบ) เส้นตรง
- เส้นนั้นคือ เส้นสัมผัส และใกล้จุดนั้นมันแนบติดกับเส้นโค้งอย่างแน่นหนา
- ดังนั้นเส้นสัมผัสจึงเป็นการ ประมาณ ที่ดีมากของฟังก์ชันใกล้เคียง — นี่คือ ความเป็นเส้นตรงในพื้นที่
- มันช่วยให้คุณประมาณค่าฟังก์ชันที่ยากด้วยเพียงความชันและจุดหนึ่ง
เส้นสัมผัสโอบกอดเส้นโค้ง
y = √x
ใกล้จุดสัมผัส เส้นและเส้นโค้งเกือบซ้อนทับกัน — ความใกล้เคียงนี้คือเหตุผลที่ $L(x)$ ประมาณ $f(x)$
แนวคิดที่ว่าเส้นโค้งเรียบดูเหมือนเส้นตรงเมื่อมองใกล้เรียกว่า local ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความเป็นเส้นตรงในพื้นที่เป็นรากฐานของการประมาณด้วยเส้นสัมผัส
สร้างเส้นสัมผัส
- เส้นสัมผัสที่ $x=a$ ผ่าน $\big(a,f(a)\big)$ ด้วยความชัน $f'(a)$
- รูปแบบจุด-ความชันให้ การประมาณเชิงเส้น:
-
$$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$
- $L(x)$ นี้คือเส้นสัมผัสเพียงอย่างเดียวที่ถูกตั้งชื่อใหม่เป็นสูตรประมาณค่า
linearization of $f$ at $a$ is $L(x)=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
จุด-ความชันของเส้นสัมผัส: $f(a)+f'(a)(x-a)$
ประมาณค่าใกล้เคียง
- เพื่อประมาณ $f(x)$ สำหรับ $x$ ใกล้ $a$, คำนวณ $L(x)$ แทน — มักเป็นการคำนวณเลขที่ง่าย
- เลือก $a$ ให้เป็นจุดใกล้เคียงที่ $f(a)$ และ $f'(a)$ ง่าย (เลข "สวย")
- ยิ่ง $x$ ใกล้เคียง $a$ เท่าไร การประมาณยิ่งดีเท่านั้น
- ตัวอย่าง: เพื่อประมาณ $\sqrt{4.1}$, ใช้ $f(x)=\sqrt x$ ที่ $a=4$, ที่ซึ่ง $f(4)=2$ เป็นเลขสะอาด
ใช้ $L(x)=2+\tfrac14(x-4)$, ประมาณ $\sqrt{4.1}=L(4.1)$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2+\tfrac14(0.1)=2.025$.
เกินหรือ underestimate? ถามความเว้า
- เส้นสัมผัสอยู่ด้านหนึ่งของกราฟโค้ง ดังนั้น $L(x)$ จึงเอียงไปทางหนึ่ง
- เว้าขึ้น (เส้นโค้งงอขึ้น, $f''>0$): เส้นสัมผัสอยู่ ใต้ เส้นโค้ง → $L$ เป็น underestimate
- เว้าลง ($f''<0$): เส้นสัมผัสอยู่ เหนือ เส้นโค้ง → $L$ เป็น overestimate
- ตรวจสอบเครื่องหมายของ $f''$ บอกคุณได้ว่าประมาณค่าผิดไปทางไหน
ถ้า $f$ บิดลงใกล้ $a$, การประมาณด้วยเส้นสัมผัส $L(x)$ เป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
บิดลง → เส้นสัมผัสอยู่เหนือเส้นโค้ง → ค่าประมาณสูง
linearization มีความแม่นยำสูงสุดสำหรับอินพุตที่ห่างจากจุดสัมผัส
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันแม่นยำที่สุด ใกล้ จุด; ความแม่นยำลดลงเมื่อคุณเคลื่อนที่ไปไกล
เลือก ทุก สรุปที่ถูกต้องเกี่ยวกับค่าประมาณสูง/ต่ำ
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ขึ้น → เส้นสัมผัสอยู่ใต้ → ต่ำ; ลง → เส้นสัมผัสอยู่เหนือ → สูง; ทั้งสองกำหนดโดย $f''$
Linearization ถูกต้องเฉพาะ ใกล้ จุดสัมผัส — ห่างจาก $a$ เส้นตรงจะเบี่ยงเบนออกจากเส้นโค้ง และการตัดสินเกิน/ underestimate ขึ้นอยู่กับ ความเว้า: เว้าขึ้น → เส้นสัมผัสอยู่ใต้ → underestimate; เว้าลง → overestimate. อย่าเดาทิศทาง; ตรวจสอบเครื่องหมายของ $f''$
ประมาณ $\sqrt{4.1}$ โดยใช้ Linearization ที่ $a=4$
- $f(x)=\sqrt x=x^{1/2}$, ดังนั้น $f'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt x}$; $\;f(4)=2$, $\;f'(4)=\tfrac14$.
- $L(x)=2+\tfrac14(x-4)$ ดังนั้น $L(4.1)=2+\tfrac14(0.1)=2.025$
- เนื่องจาก $\sqrt x$ เป็นเว้าลง ($f''<0$), นี่คือ overestimate เล็กน้อย (ค่าจริง $\approx2.0248$)
ความเป็นเส้นตรงในพื้นที่ ทำให้ เส้นสัมผัส ประมาณฟังก์ชันใกล้จุดหนึ่ง Linearization คือ $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$; ใช้เพื่อประมาณ $f(x)$ สำหรับ $x$ ใกล้ $a$ ความเว้ากำหนดทิศทางของความผิดพลาด: เว้าขึ้น → underestimate, เว้าลง → overestimate