การแก้โจทย์关于อัตราการเชื่อมโยง
แนะนำใหม่สูตรซ้ำๆ สำหรับ related rates
- โจทย์ Related-rates ดูยากจนกว่าจะปฏิบัติตาม ขั้นตอน ที่ตายตัว
- ห้าขั้นเดิมทุกครั้งที่ทำ: วาดภาพ, เขียนสมการ, แยกอนุพันธ์, แทนค่า, แก้หาคำตอบ
- กฎเดียวที่คนมักทำผิด: แทนค่าตัวเลขก็ต่อเมื่อแยกอนุพันธ์แล้วเท่านั้น
- ทำความเข้าใจสูตรนี้และโจทย์ Related-rates ทุกข้อจะเป็นเรื่องปกติไปเลย
ห้าขั้นตอน
- 1. วาด & ทำเครื่องหมาย ปริมาณที่เปลี่ยนแปลง; ระบุสิ่งที่ให้มาและต้องการหา
- 2. เชื่อมโยง ตัวแปรด้วย สมการ (เรขาคณิต/สูตร)
- 3. แยกอนุพันธ์ ทั้งสองข้างเทียบกับ $t$ (กฎลูกโซ่ → พจน์อัตรา)
- 4. แทนค่า ค่าที่ทราบ * ณ那一刻นั้น*
- 5. แก้ หาอัตราที่ไม่ทราบ; รายงานพร้อม หน่วย และเครื่องหมาย
ปริมาตรเพิ่มขึ้นเร็วที่สุดเมื่อมีขนาดใหญ่
y = a·x³ (V เทียบกับ r)
เพราะ $\tfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\tfrac{dr}{dt}$, อัตรารัศมีคงที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงปริมาตรพุ่งสูงขึ้นเมื่อ $r$ เพิ่มขึ้น
เรียงลำดับขั้นตอน关于อัตราการเชื่อมโยง
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
ภาพ, เชื่อมโยง, หาอนุพันธ์, แทนค่า-และแก้
แยกอนุพันธ์ก่อน แทนค่าทีหลัง
- จำนวนที่เปลี่ยนแปลงต้องคงเป็น ตัวแปร ไว้ขณะแยกอนุพันธ์
- หากคุณกำหนด $r=5$ ก่อน การหาอนุพันธ์ อัตราการเปลี่ยนแปลง $\tfrac{dr}{dt}$ ของมันจะหายไป — และวิธีทั้งหมดจะล้มเหลว
- แทนค่าของ那一刻นั้นเฉพาะที่ ขั้นตอนที่ 4 หลังแยกอนุพันธ์เสร็จแล้ว
- สิ่งเดียวที่คุณอาจกำหนดค่าล่วงหน้าได้คือค่าคงที่จริง (เช่น ความยาวบันไดที่แน่นอน)
ด้วย $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, $r=5$, และ $\dfrac{dr}{dt}=2$, หา $\dfrac{dV}{dt}$ เป็นหลายเท่าของ $\pi$ (กรอกตัวเลขหน้า $\pi$)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$4\pi(25)(2)=200\pi$.
ควรแทนค่าตัวเลขของช่วงเวลาใด?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หาอนุพันธ์ก่อน; แทนค่าตัวเลขทีหลัง หรือพจน์อัตราจะหายไป
การตั้ง $r=5$ ก่อนหาอนุพันธ์เป็นการลัดวิธีที่ทำได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันฆ่า $\tfrac{dr}{dt}$ และทำลายวิธีการ
ตรวจสอบหน่วยและความสมเหตุสมผล
- คำตอบคือ อัตรา — ต้องมีหน่วยของ ผลลัพธ์ต่ออินพุต (เช่น $\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$)
- ตรวจสอบ เครื่องหมาย: ปริมาณเพิ่มขึ้น → บวก; ลดลง → ลบ
- ถามตัวเองว่าขนาดนั้น สมเหตุสมผล กับสถานการณ์หรือไม่
- ประโยคสรุปที่ชัดเจน ("ปริมาตรกำลังเพิ่มขึ้นที่ ... ต่อวินาที") จะได้รับคะแนนการตีความ
คำตอบ关于อัตราการเชื่อมโยงคืออัตรา, ดังนั้นต้องรายงานพร้อม ____ ของมัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เช่น cm³ ต่อวินาที
คำตอบ about rates ออกมา $\dfrac{dV}{dt}=-30\,\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$. นี้หมายความว่าปริมาตรคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อัตราลบหมายความว่าปริมาตรหดตัวที่ $30$ cm³/s
ข้อผิดพลาดอันดับหนึ่งของ Related-rates: แทนค่า那一刻นั้นก่อนแยกอนุพันธ์ รักษาทุกปริมาณที่เปลี่ยนแปลงให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ตลอดขั้นตอนการแยกอนุพันธ์; แทนค่าเฉพาะทีหลัง การแทนค่าล่วงหน้าจะฆ่าพจน์อัตราและทำให้ได้คำตอบที่ผิด (มักเป็นศูนย์)
รัศมีของลูกโป่งทรงกลมเพิ่มที่ $\tfrac{dr}{dt}=2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$. ปริมาตรเพิ่มเร็วแค่ไหนเมื่อ $r=5$ ซม.?
- เชื่อมโยง: $V=\tfrac43\pi r^3$. แยกอนุพันธ์: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- ตอนนี้ แทน $r=5$, $\tfrac{dr}{dt}=2$: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi(25)(2)=200\pi$.
- ปริมาตรกำลังเพิ่มขึ้นที่ $200\pi\approx628\ \tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$
แก้โจทย์ related rates ในห้าขั้นตอน: วาด/ทำเครื่องหมาย, เขียน สมการ เชื่อมโยง, แยกอนุพันธ์เทียบกับ $t$, แทนค่า那一刻นั้นก็ต่อเมื่อแยกอนุพันธ์แล้ว, และแก้หาอัตราที่ไม่ทราบ รายงานด้วย หน่วย และเครื่องหมายที่ถูกต้อง และตรวจสอบว่าผลลัพธ์ สมเหตุสมผล